HDU 5898 odd-even number 沈阳网络赛

最新推荐文章于 2021-04-02 12:19:49 发布

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#数位DP

本文介绍了一种使用数位DP方法解决特定区间内满足特定奇偶性组合的数字计数问题的方法。通过对状态转移方程的定义与分析，解决了复杂条件下数字的计数难题。

题目给你了一个区间，问你这个区间内满足连续偶数的位数为奇数个，连续奇数的位数为偶数个的数的个数。

意思比较绕，然后分析一下发现，你想讨论啊，找规律都不好搞，但是数位dp很符合这个玩意。

定义一个三维的dp[i][j][k]，意思是从高位到低位的第 i 位，选择数 j （0-9），当前奇偶性的连续长度为奇数还是偶数（0偶数，1奇数）。

再定义一个结构相同的东西，pp[i][j][k]，这个东西用来存第i位选择上界，且源自于上一位的上界的方案数量的总数。

我们先考虑一个简单的情况：999-100 类似这样的区间该怎样处理。

我们dp到了第i位，且选择了偶数 j，长度为奇数的状态的方案来自于前一位为偶数且连续长度为奇数和前一位为奇数且连续长度为偶数

长度为偶数的状态来自于前一位为偶数且连续长度为奇数的状态

同理，都是一样的思路，这样就处理出了所有 99....9 - 10....0 区间内的满足条件的数的数量。把他保存下来。

考虑区间，l <= r, 那么只会有两种情况， l == r 和 l < r 所以当r比l位数大时直接算l 到 10....0 的答案加上 10....0 到 r的答案就可以了。

所以其实只要知道如何求 l 到 10....0 所有的都可以用这个东西求出来。

情况和刚才比只多出了一个范围，现在可能会出现大于上界的情况，我们考虑每一位，当前选择大于上界的数的时候才有可能使得最后的结果

大于上界，比如上界为 7834 我们在第二位 8 这个位置选择 9，才有可能导致大于上界，那么我们只需要在考虑该位填9时使得结果大于上界的

方案有多少就可以了，这时候就用pp这个数组来记录来自于上界的方案数，减去即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <stack>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL l, r;
LL ans[20];
LL dp[20][10][2];//第几位，当前选哪个数，连续长度为奇数还是偶数的总方案数
LL pp[20][10][2];//来自于最大情况的方案数
LL ld, rd;
LL acc;
int sums[2][20];

void init()
{
	ans[1] = 4;
	for(int i = 2; i <= 18; i++)
	{
		memset(dp, 0, sizeof dp);
		for(int j = 1; j <= 9; j++)
			dp[1][j][1] = 1; 
		for(int j = 2; j <= i; j++)
		{
			for(int k = 0; k <= 9; k++)
			{
				if(k%2 == 0)
				{
					for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
					{
						dp[j][k][0] += dp[j - 1][pre][1];
						dp[j][k][1] += dp[j - 1][pre][0];
					}
					for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)
						dp[j][k][1] += dp[j - 1][pre][0];
				}
				else
				{
					for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)
					{
						dp[j][k][0] += dp[j - 1][pre][1];
						dp[j][k][1] += dp[j - 1][pre][0];
					}
					for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
						dp[j][k][1] += dp[j - 1][pre][1];
				}
			}
		}
		for(int j = 0; j <= 9; j += 2)
			ans[i] += dp[i][j][1];
		for(int j = 1; j <= 9; j += 2)
			ans[i] += dp[i][j][0];
	}
	return;
}

int getDig(LL x, int flag)
{
	LL tmp = x;
	int dig = 0;
	for(;tmp != 0;)
	{
		sums[flag][++dig] = tmp%10;
		tmp /= 10;
	}
	return dig;
}

LL down(int dig, int flag)
{
	LL tmp = 0;
	memset(dp, 0, sizeof dp);
	memset(pp, 0, sizeof pp);
	pp[1][sums[flag][dig]][1] = 1;
	for(int i = 1; i <= sums[flag][dig]; i++)
		dp[1][i][1] = 1;
	for(int i = 2; i <= dig; i++)
	{
		int l = sums[flag][dig + 2 - i];
		int d = sums[flag][dig + 1 - i];
		for(int j = 0; j <= d; j++)
		{
			if(j%2 == 0)
			{
				for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
				{
					dp[i][j][0] += dp[i - 1][pre][1];
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0];
				}
				for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)	
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0];
			}
			else
			{
				for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)
				{
					dp[i][j][0] += dp[i - 1][pre][1];
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0];
				}
				for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][1];
			}
		}
		if(d%2 == 0)
		{
			if(l%2 == 0)
			{	
				pp[i][d][0] += pp[i - 1][l][1];
				pp[i][d][1] += pp[i - 1][l][0];
			}
			else
				pp[i][d][1] += pp[i - 1][l][0];
		}
		else
		{
			if(l%2 == 1)
			{
				pp[i][d][0] += pp[i - 1][l][1];
				pp[i][d][1] += pp[i - 1][l][0];
			}
			else
				pp[i][d][1] += pp[i - 1][l][1];
		}
		for(int j = d + 1; j <= 9; j++)
		{
			if(j%2 == 0)
			{
				for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
				{
					dp[i][j][0] += dp[i - 1][pre][1] - pp[i - 1][pre][1];
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0] - pp[i - 1][pre][0];  
				}
				for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)	
				{
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0] - pp[i - 1][pre][0];
				}
			}
			else
			{
				for(int pre = 1; pre <= 9; pre += 2)
				{
					dp[i][j][0] += dp[i - 1][pre][1] - pp[i - 1][pre][1];
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][0] - pp[i - 1][pre][0];
				}
				for(int pre = 0; pre <= 9; pre += 2)
				{
					dp[i][j][1] += dp[i - 1][pre][1] - pp[i - 1][pre][1];
				}
			}
		}
	}
	for(int i = 0; i <= 9; i += 2)
		tmp += dp[dig][i][1];
	for(int i = 1; i <= 9; i += 2)
		tmp += dp[dig][i][0];
	return tmp;
}

LL up(int x, int flag)
{
	return ans[x] - down(x, flag);
}

int main()
{
	init();
	int T;
	int cas = 0;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		acc = 0;
		scanf("%lld%lld", &l, &r);
		memset(sums, 0, sizeof sums);
		ld = getDig(l - 1, 0);
		rd = getDig(r, 1);
		if(rd > ld)
		{
			acc += down(rd, 1);
			acc += up(ld, 0);
			for(int i = ld + 1; i <= rd - 1; i++)
				acc += ans[i];
		}
		else
		{
			acc += down(rd, 1);
			acc -= down(ld, 0);
		}
		printf("Case #%d: %lld\n", ++cas, acc);
	}
    return 0;
}