欧拉计划第7题：10001st primeBy（质数 质数筛法）

欧拉计划简介，本系列希望以通俗易懂的语言、简洁的代码，带大家体会数学与编程结合的魅力。

Problem 7：$10001$st primeBy

标签：质数、质数筛法

原文：By listing the first six prime numbers: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, and $13$, we can see that the $6$th prime is $13$. What is the $10001$st prime number?

翻译：前$6$个质数分别是$2$、$3$、$5$、$7$、$11$和$13$。第$10001$个质数是多少？

题解：质数判定解法时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$，埃式筛法解法时间复杂度 $O(nloglogn)$，欧拉筛 $O(n)$。

下面展示一下三种解法的代码。

质数判定 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool check(int x) {
    if (x <= 1) return 0;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

int main() {
    int cnt = 0, i = 1;
    while (1) {
        if (check(i)) {
            cnt++;
            if (cnt == 10001) {
                cout << i << endl;
                return 0;
            }
        }
        i++;
    }
    return 0;
}

埃式筛法 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
bool isPrime[N]; // 0是 1不是质数

int main() {
    isPrime[0] = isPrime[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        if (!isPrime[i]) {
            for (int j = 2 * i; j < N; j += i) {
                isPrime[j] = 1;
            }
        }
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        if (!isPrime[i]) {
            cnt++;
            if (cnt == 10001) {
                cout << i << endl;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

欧拉筛法 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int prime[N];
bool isPrime[N]; // 0是 1不是质数

int main() {
    isPrime[0] = isPrime[1] = 1;
    int cnt = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
        if (!isPrime[i]) prime[cnt++] = i;
        for (int j = 1; j < cnt && i * prime[j] <= N; j++) {
            // 将以prime[j]]为最小质因数的合数筛掉
            isPrime[i * prime[j]] = 1;
            // 保证只筛到以prime[j]为最小质因数的数
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    cout << prime[10001];
    return 0;
}

---

“Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.”

“欧拉计划的存在，是为了每个对数学感兴趣的人，鼓励他们，挑战他们，并最终培养他们的能力与乐趣。”