欧拉计划第6题：Sum square difference（和的平方平方的和）

最新推荐文章于 2025-07-23 09:00:03 发布

信息学奥赛-王老师

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分类专栏：欧拉计划文章标签：算法学习 c++ 数据结构

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本文介绍了如何计算前一百个自然数的和的平方与平方和之差，提供了枚举法和数学公式两种解题方法，展示了数学与编程在解决ProjectEuler问题中的应用。

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欧拉计划简介，本系列希望以通俗易懂的语言、简洁的代码，带大家体会数学与编程结合的魅力。

Problem 6：Sum square difference

标签：和的平方、平方的和

原文：The sum of the squares of the first ten natural numbers is,

$12+22+…+102=3851^2+2^2+\ldots +10^2=385$

The square of the sum of the first ten natural numbers is,

$(1+2+…+10)2=552=3025(1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025$

Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is $3025 - 385 = 2640$ .

Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.

翻译：前十个自然数的 平方的和 是

$12+22+…+102=3851^2+2^2+\ldots +10^2=385$

前十个自然数的 和的平方 是

$(1+2+…+10)2=552=3025(1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025$

因此，前十个自然数 和的平方 与 平方的和 之差是 $3025 - 385 = 2640$ 。

求前一百个自然数 和的平方 与 平方的和 之差。

枚举法题解：循环枚举一下。

枚举法代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        sum1 += i;
        sum2 += i * i;
    }
    // 和的平方、平方的和
    cout << sum1 * sum1 - sum2 << endl;
    return 0;
}

数学题解：自然数的 和的平方 通项公式为 $\large X=(\frac{n(n+1)}{2})^2$

自然数的 平方的和 通项公式为 $\large Y=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

则 和的平方 与 平方的和 差值公式为： $X−Y=(n(n+1)2)2−n(n+1)(2n+1)6=n(n−1)(n+1)(3n+2)12X-Y=(\frac{n(n+1)}{2})^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{12}$

数学代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n = 100;
    cout << n * (n-1) * (n+1) * (3*n+2) / 12;
    return 0;
}

“Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.”

“欧拉计划的存在，是为了每个对数学感兴趣的人，鼓励他们，挑战他们，并最终培养他们的能力与乐趣。”