欧拉计划第6题:Sum square difference(和的平方 平方的和)

本文介绍了如何计算前一百个自然数的和的平方与平方和之差,提供了枚举法和数学公式两种解题方法,展示了数学与编程在解决ProjectEuler问题中的应用。

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欧拉计划简介,本系列希望以通俗易懂的语言、简洁的代码,带大家体会数学与编程结合的魅力。

Problem 6:Sum square difference

标签:和的平方、平方的和

原文:The sum of the squares of the first ten natural numbers is,

12+22+…+102=3851^2+2^2+\ldots +10^2=38512+22++102=385

The square of the sum of the first ten natural numbers is,

(1+2+…+10)2=552=3025(1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025(1+2++10)2=552=3025

Hence the difference between the sum of the squares of the first ten natural numbers and the square of the sum is 3025−385=26403025 − 385 = 26403025385=2640.

Find the difference between the sum of the squares of the first one hundred natural numbers and the square of the sum.

翻译:前十个自然数的 平方的和

12+22+…+102=3851^2+2^2+\ldots +10^2=38512+22++102=385

前十个自然数的 和的平方

(1+2+…+10)2=552=3025(1+2+\ldots+10)^2 = 55^2 = 3025(1+2++10)2=552=3025

因此,前十个自然数 和的平方平方的和 之差是 3025−385=26403025 − 385 = 26403025385=2640

求前一百个自然数 和的平方平方的和 之差。

枚举法题解:循环枚举一下。

枚举法代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int sum1 = 0, sum2 = 0;
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        sum1 += i;
        sum2 += i * i;
    }
    // 和的平方、平方的和
    cout << sum1 * sum1 - sum2 << endl;
    return 0;
}

数学题解:自然数的 和的平方 通项公式为 X=(n(n+1)2)2 \large X=(\frac{n(n+1)}{2})^2 X=(2n(n+1))2

自然数的 平方的和 通项公式为 Y=n(n+1)(2n+1)6 \large Y=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}Y=6n(n+1)(2n+1)

和的平方平方的和 差值公式为:X−Y=(n(n+1)2)2−n(n+1)(2n+1)6=n(n−1)(n+1)(3n+2)12X-Y=(\frac{n(n+1)}{2})^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{12}XY=(2n(n+1))26n(n+1)(2n+1)=12n(n1)(n+1)(3n+2)

数学代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n = 100;
    cout << n * (n-1) * (n+1) * (3*n+2) / 12;
    return 0;
}

“Project Euler exists to encourage, challenge, and develop the skills and enjoyment of anyone with an interest in the fascinating world of mathematics.”

“欧拉计划的存在,是为了每个对数学感兴趣的人,鼓励他们,挑战他们,并最终培养他们的能力与乐趣。”

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