欧拉计划第1题：Multiples of 3 or 5（容斥原理 等差数列）

Problem 1：Multiples of $3$ or $5$

标签：倍数、容斥原理、等差数列

原文：If we list all the natural numbers below $10$ that are multiples of $3$ or $5$, we get $3$, $5$, $6$ and $9$. The sum of these multiples is $23$.

Find the sum of all the multiples of $3$ or $5$ below $1000$.

翻译：在小于 $10$ 的自然数中，$3$ 或 $5$ 的倍数有 $3$、$5$、$6$和$9$，这些数之和是 $23$。

求小于 $1000$ 的自然数中所有 $3$ 或 $5$ 的倍数之和。

题解1：循环枚举一下。

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < 1000; i++) {
        if (i % 3 == 0 || i % 5 == 0) {
            sum += i;
        }
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

题解2：小于 $1000$ 的 $3$ 的倍数有 $999/3=333$ 个，小于 $1000$ 的 $5$ 的倍数有 $999/5=199$ 个，同时是 $3$ 和 $5$ 的倍数有 $1000/15=66$ 个。

通过等差数列求和公式，我们可以求得 $3、5、15$ 在小于 $1000$ 的各自的倍数之和分别为$166833、99500、33165$。

通过容斥原理可知，$15$ 的倍数在 $3、5$ 的倍数里面被算了两次，所以要减掉一份。

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n3 = 999 / 3;
    int n5 = 999 / 5;
    int n15 = 999 / 15;

    int S3 = (1 + n3) * 3 * n3 / 2;
    int S5 = (1 + n5) * 5 * n5 / 2;
    int S15 = (1 + n15) * 15 * n15 / 2;
    cout << S3 + S5 - S15;
    return 0;
}
// 等差数列求和：Sn = (1 + n) * d * n / 2

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“欧拉计划的存在，是为了每个对数学感兴趣的人，鼓励他们，挑战他们，并最终培养他们的能力与乐趣。”