【每日一题】洛谷 P2014：选课（有依赖背包）

题目描述

标签：有依赖的背包、树形$dp$
题意：给定$N$门课程，每门课程有一定的学分$s_i$，每门课程有一门或者没有先修课（比如$a$是$b$的先修课，必须先学完$a$才能学$b$），一个学生从这些课程中选择$M$门课程进行学习，求获得的最大学分是多少？（$1<=N,M<=300$）

解决方案

题解：树形依赖背包指的就是一类具有 树形依赖关系 的背包问题。当选一个物品的前提是选另一件物品，而这些依赖关系构成了一个树形关系。在容量有限的情况下，然后求最大的价值，这类问题我们就称之为树形依赖背包。

设$dp[i][j]$为以$i$作为根节点的子树，在选了$j$节课的情况下能够获得的最大学分。
首先得初始化，对于每个节点$i$来说，当能够选的课程数大于等于$1$的时候，能够获得至少第$i$门课程的学分，即$dp[i][j]=s[i]$（$j>=1$）

对于不同的容量$j$，获得的最大得分是在子树里选$k$个与非该子树中选$j-k$个的价值，即：
$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-k]+dp[i_{son}][k])$
通过这样，对于每个子树的组合，我们可以保证只能至多选一个物品，且每个子树只搜一次。

由于本题的图是个森林，我们可以构造一个虚拟的根节点（节点$0$）把每个树的根节点连到节点$0$，转化成一颗树，跑上面的逻辑就可以了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 305;
int dp[N][N];
vector<int> e[N];
int n, m, fa[N], v[N], w[N], sum = 0;

void dfs(int u) {
    for (int j = v[u]; j <= m; j++) dp[u][j] = w[u];

    for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) {
        int son = e[u][i];
        dfs(son);
        for (int j = m; j >= v[u]; j--)
        for (int k = 0; k <= j - v[u]; k++)
        dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[son][k]);
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> fa[i] >> w[i];
        v[i] = 1;
        if (fa[i] != 0) e[fa[i]].push_back(i);
        else e[0].push_back(i);
    }

    dfs(0);
    cout << dp[0][m];
    return 0;
}