洛谷·选课

最新推荐文章于 2025-07-05 18:03:32 发布

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#背包问题 #树形DP

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树型结构

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本文探讨了一道结合树形结构与背包问题的算法题目，通过动态规划解决学生选课以获得最大学分的问题。文章详细解析了问题背景、算法思路、状态转移方程，并附带代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

初见安~这里是传送门：洛谷P2014

题目描述

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

输入格式：

第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=300,1<=M<=300)

接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。

输出格式：

只有一行，选M门课程的最大得分。

输入样例#1：

输出样例#1：

题解

每门课程所对应的先修课仅一门，所以我们在理解样例的时候也可以自然而然地画出一颗树状结构来——每门课（存的标号）都只有唯一的先修课即父节点，没有先修课的父节点为0。所以我们就有了个大致的思路——树形结构。

与此同时——题目限定了选课的数量并要求学分最高，我们又可以联想到背包问题（之后发背问题讲解）——动态规划，所以这就是一道背包类的树形DP问题了。

那么问题来了——例如样例作图后如下：（~~图丑勿喷~~）

如果我们按照题目要求的逻辑来，就应该先从0开始dp下去，因为要保证在7前先修2，在5前先修7；但是按照我们背包问题的思路可以发现：如果这棵树大一点儿，可能会存在部分先修课被不选，而选上了需要这们先修课的选修课，这是不符合题意的。所以我们依照树形dp的套路——dfs到叶子结点后再层层推上来，转化为最基础的问题。如果倒着来——也就是从叶子结点x开始，dp[ x ]=grade（学分）[ x ]；然后递归回到x的父节点y进行dp，就意味着dp[ y ]为以y为父节点在m的限制下的最大子树和。至于前文我们舍去从0开始dp的思路的顾虑，因为我们选出其最大子树和后一定会加上它本身的grade，能保证每一个子树都是符合要求选课的，所以溯洄到根节点0时同样符合题意。

大致方向已定，我们开始思考算法——开一个二维的dp数组，dp[ i ] [ j ]代表到第 i 门课程时选 j 门课的最大的学分，所以最后我们要输出的就是dp[0] [m]。（是的就是背包的套路了，所谓树形dp就是从下往上，转化为从叶子结点到根节点的过程。）

转台转移方程为：

dp[y][t]=max(dp[y][t],dp[y][t-j]+dp[x][j]);//x为y的子结点。

下面是代码及详解——

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,grade[500];
int dp[500][500],fa[500];
int ,maxn=0; 
vector<int> v[500];
bool vis[500];

void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;//标记是否走过这个点
	dp[x][0]=0;//初始化
	for(int i=0;i<v[x].size();i++)
	{
		int y=v[x][i];
		if(vis[y]) continue; 
		dfs(y);//遍历到这一子树的叶子结点
		for(int t=m;t>=0;t--)//倒序避免重复叠加（背包状态压缩常识）
		{
			for(int j=t;j>=0;j--)
			{
				if(t>=j)
					dp[x][t]=max(dp[x][t],dp[x][t-j]+dp[y][j]);//状态转移
			}
		}
	}
	if(x!=0)//非假结点，是有学分的
	{
		for(int t=m;t>0;t--)
		{
			dp[x][t]=dp[x][t-1]+grade[x];
		}
	}
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		grade[i]=b;
		v[a].push_back(i);//存图
		v[i].push_back(a);
	}
	
	dfs(0);
	cout<<dp[0][m]<<endl;
	return 0;
}

迎评：）

——End——