#10119. 「一本通 4.2 例 1」数列区间最大值（ST算法求解静态的RQM问题）

题目描述

输入一串数字，给你 M个询问，每次询问就给你两个数字X，Y ，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。

输入格式

第一行两个整数n，m 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为 n 个数；
接下来 m行，每行都有两个整数 x，y。

输出格式

输出共M行，每行输出一个数。

样例

样例输入

10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8

样例输出

5
8

数据范围与提示

对于全部数据1<=n<=1e5,1<=m<=le6, 1<=x<=y<=n。数字不超过 C/C++ 的 int 范围。

思路：可用线段树写 nlogn + mlogn，这里可用ST算法求解，复杂度 O(n*logn),询问时O(1),ST算法适用于没有修改的操作且询问次数较多的的情况。

ST算法，其实就是动态规划，dp[i][j] 表示起始位为i，后2^j位的最大值，递推方程式dp[i][j] = Max(dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1]),区间长度2^j，分成两个2^(j-1)，意思是要求一个数的后2^j位的最大值，需要先求出一个数后2^(j-1)位的最大值 （在这个数+2^(j-1)次方后） ，询问求最终结果时，// 要求最大的x满足 2^x<=r-l+1，x = log2(r-l+1),[i,j]的最大值 = max(dp[l][x],dp[r-2^x+1][x]);就算有dp[i][x] 和 dp[r-2^x+1][x] 有交集，也不影响 [l,r]中的最大值。

下面在递推时，还得要注意当 i+2^j-1 超过 n了，就不用求了，代码中有解释

代码：

//静态的RQM问题，可用ST算法，求解，时间复杂度N*logN，每次询问 O(1),空间复杂度N*logN 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int  Max = 1e5+10,LogN = 19;

int a[Max],n,k;
int Log[Max];
int dp[Max][LogN+5],c[LogN+5];

// 2^(j-1) = 1<<j; 若运算少的话，可以用左移运算符代替2的次方，运算多的话，就算了，怕卡时长。 
//dp[i][j] 表示起始位为i，后2^j位的最大值，递推方程式dp[i][j] = Max(dp[i][j-1],dp[i+2^(j-1)][j-1])
//区间长度2^j，分成两个2^(j-1)，意思是要求一个数的后2^j位的最大值，需要求出一个数后2^(j-1)位的最大值 
//（在这个数+2^(j-1)次方后） 
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	Log[0] = -1;   // log N 向下取整的递推方式；// 如向上取整 Log[0] = 0; 
	for(int i = 1;i<=n;i++)
		dp[i][0] = a[i],Log[i] = Log[i>>1] + 1;
	c[0] = 1;
	for(int i = 1;i<=LogN;i++)
		c[i] = c[i-1] * 2;
	for(int j = 1;j<=LogN;j++){
	//求 i后面2^j位的最大值，首先要保证i+2^j不超多n，超过就没有意义了，不一定要把每一个dp[i][j]都求不来，
	//i+2^j超过n的,就算求了在询问时，也用不上。 
		for(int i = 1;i+c[j]-1<=n;i++)  // 这里一定要注意减一，dp[i][j] 表示的是算上i后面的2^j位的最大值。 
			dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+c[j-1]][j-1]);  
	}
	int x,y;
	while(k--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		int tt = Log[y-x+1]; // 要求最大的x满足 2^x<=r-l+1,所以log[y-x-1]求得log2(y-x-1)向下取整。
		printf("%d\n",max(dp[x][tt],dp[y-c[tt]+1][tt])); // 就算有重叠的部分也不影响最大值的 
	} 	 
	return 0; 
}