为什么平方数列求和是三次多项式？

当我们推导数列求和公式时，有时候可能会先假设其形式是一个多项式，并根据数列的增长速度确定多项式的次数。对于平方数列的求和问题
$$S_2(n)=1^2+2^2+\cdots +n^2$$
我们假设它是一个三次多项式，为什么？

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从增长速度角度大致进行判断

1. 单项平方数的增长速度

平方数列中的每一项为$k^2$，随着$k$的增加，$k^2$的增长速度是二次的。例如：
$$1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,\dots$$

2. 求和后的增长速度

如果我们对平方数列进行求和$S_2(n)=1^2+2^2+\cdots +n^2$，那么整个和的增长速度将比单个平方项更高。

• 当$n$较大时，$S_2(n)$的主要贡献来自于最大的几项（即接近$n^2$的部分，有点计算时间复杂度的意思了）。
• 因此，$S_2(n)$的增长速度大致与$n^3$成正比。

从空间角度来理解一下，将平方数列的每一项看作一个面积（是二维的），那么它们的累积和可以近似看作一个体积（三维的）。因此，$S_2(n)$的增长速度应该是三次的。但是这有点像是个猜想，不能完全论证其正确性。

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差分法验证上面猜想的正确性

多项式的次数与差分的关系：对于一个 $m$ 次多项式 $P(n)$ ，其 $m$阶差分是一个常数，而 $m+1$ 阶差分及更高阶差分均为零。因此，通过差分法可以确定多项式的次数。

1. 差分定义
设$f(n)$是一个函数，其一阶差分为：
$$\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)$$
二阶差分为：
$${\Delta }^{2}f(n)=\Delta (\Delta f(n))=\Delta f(n+1)-\Delta f(n)$$
依此类推计算高阶差分。

我们知道$S_2(n)=1^2+2^2+\cdots +n^2$，因此：
$$S_2(n+1)=S_2(n)+(n+1{)}^2$$
由此可得一阶差分为：
$$\Delta S_2(n)=S_2(n+1)-S_2(n)=(n+1{)}^2$$

二阶差分：
$${\Delta }^2{S}_2(n)=\Delta (\Delta S_2(n))=(n+2{)}^2-(n+1{)}^2=2n+3$$

三阶差分：
$${\Delta }^3{S}_2(n)=\Delta ({\Delta }^2{S}_2(n))=[2(n+1)+3]-[2n+3]=2$$

四阶差分：
$${\Delta }^4{S}_2(n)=\Delta ({\Delta }^3{S}_2(n))=2-2=0$$

四阶差分为零，而三阶差分是一个常数。这表明$S_2(n)$是一个三次多项式。