53、图论与数据结构：k 树问题与压缩持久索引探索

图论与数据结构：k 树问题与压缩持久索引探索

在计算机科学领域，图论和数据结构是两个至关重要的研究方向。本文将围绕最小权重 k 树问题以及压缩持久索引展开，深入探讨其相关算法和数据结构设计。

最小权重 k 树问题

在图论中，k 树问题是一个经典的研究课题。给定一个 n 顶点图 G 和一个 k 节点树 T，我们关注是否能在 G 中找到 T 的副本。而最小权重 k 树问题则在此基础上，考虑图 G 为加权图，我们需要在 G 中找到 T 的最小权重副本。

• 时间复杂度分析

  • 当边权重为区间 [-M, M] 内的整数时，最小权重 k 树问题可以在 ˜O(2^k poly(k) M n^3) 时间内解决。
  • 当边权重为区间 [1, M] 内的实数时，该问题可以在 ˜O(2^k poly(k) n^3 (log log M + 1/ε)) 时间内以 (1 + ε) 的近似比进行近似求解。

• 多项式构造
  为了解决最小权重 k 树问题，我们引入了多项式的概念。设 N_G(i) 为图 G 中顶点 i 的邻接集， X = {x_1, ..., x_n} 为对应图 G 顶点集 V(G) 的变量集。我们定义多项式 C_T,i,j(