一张图带你看完图论第二章（包含定义、定理、公式、推导证明和例题）

 

2.1 树的概念与性质 2.2 树的中心和形心

• 树的定义
  • 连通的无圈图
    • 无圈图称为森林
      • 树与森林都是简单图（非简单一定有圈-自环、重边）               都是偶图（无奇圈）
      • 森林（n,m）里有K颗树，则m=n-k
      • 森林里k对奇点--k条边不重的路，G的边集是这些路的并
        • 归纳法证明
• 树的描述
  • 树叶：度数=1分支点：度数>1
    • 非平凡树至少有两片叶子
  • 中心
    • 点v离心率e(v) 从v出发最多可以走多远/离v最远点距离
      • 离心率=图G半径的点，称为G的一个中心点（离心率最小的点）全体中心点构成的集合称为G的中心
        • 树上离心率 最大点为叶子点                  越靠近叶子，离心率越大
        • 树的中心由1个或两个相邻点组成（树的中心不可能3个）
          • 删叶子点不改变中心
          • 证：归纳假设-删叶子点当n=1或2时，结论显然成立设对n<k (k ≥ 3)的树结论成立，假设T是k阶树删掉T的所有树叶，得到新的树T1T1的每个点的离心率比它们在T中的离心率减少1又因T的树叶不可能是中心点，所以T的中心点在T1中因此，若点u的离心率在T中最小，则在T1中依然最小，即说明T的中心点是T1的中心点，反之亦然由归纳假设知， T1的中心由一个点或两个相邻点组成所以对于T来说，结论仍然成立
    • 图G半径r(G) 所有顶点离心率最小值/每个点最远距离的最小值      直径是G的最大离心率（图的直径不等于半径*2）
      • 在树上，两点间路唯一，因此只要沿着路走就是最短路
    • 填空题找中心点，就是不停删叶子点
  • 形心
    • 点v分支 v处断开，变成v为其中一个叶子点的极大子树分支数=v度数（v处砍掉几个枝）
    • 权=分支中边最大数目
      • 形心点=权min（所有点分支边最大值的最小值）
        • 叶子点=权max（所有叶子点的权都相同）
          • 树的形心由一个或两个相邻点组成
            • 若树一个形心点-----权<n/2若树两个形心点-----权=n/2
              • 奇阶树形心点一定唯一
              • 偶阶树才可能有两个形心
              • 证：1.首先证形心点的权必<=n/2（反证）假定点u的权大于n/2，则在T-u的最大分支中原来与u相邻的点的权必然小于点u的权。因此u不可能为形心点。
      • 形心好比物体重心，分成几瓣，越平均越好
• 树的性质
  • 设G是具有n个点m条边的图，则下列命题等价：(1) G 是树。(2) G 无环且任意两个不同点之间存在唯一的路。(3) G 连通，删去任一边便不连通。(4) G 连通，且 n = m + 1。(5) G 无圈，且 n = m + 1。(6) G 无圈，添加任何一条边可得唯一的圈。不涉及m=n-1就用反证法，涉及就用归纳法
    • 无圈、连通、m=n-1、唯一路、唯一圈、删去不连通
  • 树是含边数最少的连通图（再减就没路）
  • 树是含边数最多的无圈图（再加就有圈）
  • 性质的推论
    • 树的最大度Δ=至少有Δ片叶子
    • 树的度序列 当且仅当 度数和=2（n-1）
      • 必要性显然。证充分性 对序列长度N归纳当n=2时，结论显然成立。假设当n=k时，结论成立。考虑n=k+1时的情况。首先，序列中至少一个数为1，否则序列和大于2k（最小度为2的话），与条件相矛盾！所以，dk+1=1。（构造）从序列中删掉d1和dk+1，增加一个数d*=d1-1，并放在应该的位置，得到一个新的序列S。得到的S长度为k，且序列之和为2(k-1)，由归纳假设知，存在一棵非平凡树T*以S为度序列。（在构造的树上添一点）在树T*中添加一点v，并让v与d*所对应的点相邻，得到一棵新的树T显然，树T的度序列恰好为已知的序列。
• 例题
  • 1.设T是k阶树，证：若简单图G满足δ(G)≥k-1（G中每个顶点至少与k-1个点相邻）则T同构于G的某个子图（G中包含T所有同构k阶树）
    • （假设检验）k=1时，结论显然成立假设l-1阶每棵树T1，同构于最小度至少为l-2的图H的某个子图当T为l阶树且G满足δ(G)≥k-1时设u是T的树叶，v是u的邻接顶点，则T-u是l-1阶树由于δ(G)≥l-1>l-2，由归纳假设知，T-u同构于G的某个子图F设v1是F中与T-u中顶点v相对应的顶点，由于dG(v1)≥l-1（F除v1以外只有l-2个点）所以v1在G中一定有不属于F 的邻点u1， 作F∪{v1u1}，则该子图和T同构
• 2.3 生成树
  • 生成树的定义
    • 若图G的生成子图T是树，则称T为G的生成树（与G有相同顶点集）若T为森林，称它是G的生成森林
      • 树枝：T中的边称为树枝弦：G中不在生成树中的边称为弦
  • 生成树的性质
    • 连通图都至少包含一颗生成树（不唯一）任意图都有生成森林（破圈法）
      • 连通图 m>=n-1 树是边数最少的连通图
  • （重点！！）生成树计数r(G)
  • 非同构意义下！针对标号图！省略标号！每个边都是独一无二的！
  • （同构意义下，生成树个数难以确定）
    • 边的收缩：删去边e并使端点重合，记为G●e                树收缩一条边，仍为树性质：V(G●e)=V(G)-1 顶点数少一          E(G●e)=E(G)-1 边数少一          w(G●e)=w(G) 连通分支数不变
      • （法一）Cayley定理  生成树个数= 删边e生成树个数+收缩边e生成树个数删边e生成树个数 即 不包含边e生成树个数收缩边e生成树个数 即 包含边e生成树个数
    • （法二）矩阵树定理  常考！！！！！！！！！！
      • 1.去掉自环（自环对生成树无用）2.求G推广的邻接矩阵A3.求对角线为d(vi)，其余部分为A对应负值的矩阵C4.求C的代数余子式值（C某行某列，不用变换直接删）
    • 常考性质
      • 完全图生成树个数=n阶标号树个数!！！(相当于给n阶树点标号不同的方案)
        • 证明---矩阵树定理，全部求和加到第一个，注意行列数目变化
  • 弦的基本回路
    • 设T是图G=(V, E)的一棵生成树，m和n分别是G的边数与顶点数，e1, e2,…, em-n+1为T的弦设 Cr 是T加 er 产生的圈(r =1, 2,…, m-n+1)，称Cr为对应于弦er的基本回路树加弦生成的圈称为基本回路，只要圈的部分，不要多余的树枝 {C1, C2,…, Cm-n+1}称为对应于生成树T的基本回路系统
      • （了解）基本回路Cr个数m-n+1 作为基向量G中任何回路都可由若干个Cr的对称差表示
  • （常考！！）最小生成树--不唯一
    • 应用题：1.连通生成子图（每个点都要有，且连通）             2.边权之和min（总造价最低）
      • （法一）1.找权值min边              2.再找权值最小边加入              且新加边不能产生圈              直到找到n-1条边，停止
      • （法二）1.破圈法，删去任意圈权值max边             2.不断破坏圈，直到没有圈             执行m-(n-1)步
      • （法三）任意点开始向外生长             1.任意点u，选u关联权值最小边             2.在与已选取边只有一个公共端点的边中，选权值min的边加入

完全图生成树个数=n阶标号树个数!！！(相当于给n阶树点标号不同的方案)

（法一）Cayley定理  生成树个数= 删边e生成树个数+收缩边e生成树个数删边e生成树个数 即 不包含边e生成树个数收缩边e生成树个数 即 包含边e生成树个数

（法二）矩阵树定理  常考！！！！！！！！！！