34、集合覆盖与背包问题的提升投影方法

集合覆盖与背包问题的提升投影方法

在算法领域，集合覆盖（Set Cover）和背包（Knapsack）问题是两个极为基础且被广泛研究的问题，它们都位列Karp最初提出的21个NP完全问题之中。本文将深入探讨提升投影方法在这两个问题上的应用，以及相关算法的特性和性能。

1. 问题概述

• 集合覆盖问题 ：给定包含n个元素的集合X，以及X的m个子集构成的集合S，每个子集S都有一个非负成本c(S)。该问题的目标是从S中选出一组子集C，使得这些子集的并集等于X，且总成本最小。
• 背包问题 ：有n个物品，每个物品i有对应的奖励ri和成本ci，背包有容量限制C。目标是选择一组物品放入背包，使得总奖励最大，同时总重量不超过C。

集合覆盖问题可以在对数因子内进行近似求解。对于均匀成本，简单的贪心算法能给出Hn近似（Hn = ln n + O(1) 是第n个调和数），该算法也被扩展到了加权情况。然而，Feige证明了在多项式时间内实现(1 - ε) ln n近似是困难的。最近，Cygan等人展示了可以在时间2nϵ+O(log m)内实现(1 - ϵ)·lnn + O(1)的近似。

背包问题则相对容易近似，有著名的完全多项式时间近似方案（FPTAS）。

2. 凸松弛层次结构

在近似算法中，数学规划松弛（如线性规划LP和半定规划SDP）是强大且常用的工具。常见的做法是求解0 - 1规划的凸松弛问题，然后将松弛解“舍入”为可行的0 - 1解。其中，松弛最优解与0 - 1最优解的最坏情况比值，即整数间隙，是一个关键的障碍。