32、图的树宽、路宽及多边形域可见性与射线查询问题研究

图的树宽、路宽及多边形域可见性与射线查询问题研究

在图论和计算几何领域，树宽（TREEWIDTH）、路宽（PATHWIDTH）问题以及多边形域中的可见性查询和射线查询问题一直是研究的重点。本文将介绍这些问题的相关算法和数据结构，以及它们的时间复杂度和空间复杂度。

树宽和路宽问题

树宽和路宽问题是图论中的重要问题，它们在许多领域都有广泛的应用。对于树宽和路宽问题，通过研究发现可以得到时间复杂度为 $O^*(3^k)$ 的算法，其中 $k$ 是输入图的顶点覆盖数。

树宽算法

最初的树宽算法整体运行时间和空间复杂度为 $O^ (4^k)$。具体步骤如下：
1. 五元组处理 ：为了高效处理特定类型的五元组 $Q^-$，可以在线更新 $min_{Q^-} ptw(Q^-)$ 的值。对于同一类型的所有 $Q^-$，第一个参数 $\eta$ 会不同，但其他四个参数相等，实际上就是对所有 $\eta$ 求最小值。对于所有 $Q_1^-$ 和所有 $Q_2^-$ 的最小值也是如此。因此，在处理五元组 $Q$ 时，可以在多项式时间内计算出 $ptw(Q)$。
2. 计算树宽 *：使用定理 5 计算 $G’$ 的树宽，并返回 $tw(G) = tw(G’) - 1$，此步骤需要多项式运行时间。

经过仔细分析，该算法最耗时的部分是步骤 2，运行时间为 $O(k4^k m)$，其中 $O(k4^k)$ 表示枚举的五元组数量，$O(m)$ 是检查一个五元组是否有效的时间。

路宽算法

路宽算法与树宽算法非常相似，只是