26、多边形可见性与路径查询：算法原理与实践

多边形可见性与路径查询：算法原理与实践

1 最小嵌套多边形计算

1.1 问题定义

给定两个简单多边形 (P) 和 (Q)，其中 (Q \subset P)，目标是计算一个嵌套在 (P) 和 (Q) 之间且顶点数最少的多边形 (K)。

1.2 判断 (K) 是否为凸多边形

• 引理 7.5.7 ：存在一个嵌套在 (P) 和 (Q) 之间的凸多边形 (K)，当且仅当 (P) 的边界不与 (Q) 的凸包相交。
• 判断算法步骤 ：
  1. 用 Graham 和 Yao 的算法计算 (Q) 的凸包 (C)。
  2. 取 (Q) 中的一点 (z)，用 Lee 的算法计算从 (z) 看 (P) 的可见多边形 (V(z))。
  3. 从 (z) 出发，通过 (C) 和 (V(z)) 的每个顶点画射线，将平面划分为多个楔形区域。
  4. 合并 (C) 和 (V(z)) 顶点围绕 (z) 的角顺序，形成楔形区域的有序角顺序。
  5. 按有序角顺序遍历楔形区域，检查每个楔形区域内的边对是否相交。
  6. 若检测到相交，则报告 (K) 不是凸多边形；否则，报告 (K) 是凸多边形。

1.3 计算凸嵌套多边形 (K)

当 (K) 为凸多边形时，计算步骤如下：
1. 用 Graham 和 Yao 的算法计算 (Q) 的凸包 (C)。
2. 用 Gh