运动学方程与几何镜像变换推导

1、以方程 ( Ω = -2 îR ḞR ) 为起点，求出二向量运动学方程的逆方程。换句话说，找到一个方程，给定一组旋转 ( Φ ) ，就能计算出引起这些旋转的角速度 ( Ω ) 。

$$
\Omega = \dot{F}\Phi + \frac{1 - \cos|\Phi|}{|\Phi|^2} \langle \Phi, \dot{F}\Phi \rangle_2 - \frac{1}{|\Phi|^2} \left(1 - \frac{\sin|\Phi|}{|\Phi|}\right)\left[|\Phi|^2 \dot{F}\Phi + (\Phi \cdot \dot{F}\Phi)\Phi\right]
$$

2、考虑两个面A和B。证明不在最小多面体范围内的任何直线都不能同时穿过A和B。

根据定义，最小多面体 $ M_{BA} $ 具有性质：
$$ S_{BA} \subseteq M_{BA} $$

即所有穿过 $ A $ 和 $ B $ 的直线构成的集合 $ S_{BA} $ 是包含于最小多面体 $ M_{BA} $ 的。

所以，不在最小多面体 $ M_{BA} $ 内的直线，必然不在集合 $ S_{BA} $ 中，也就意味着这些直线 不能同时穿过 $ A $ 和 $ B $。

3、设M是过原点O且垂直于单位向量u的镜面。证明向量v或点P在平面M中的镜像分别为：vnew = v - 2(v · u)u，P new = O + 2[(P - O) · u]u。

对于向量 v ，设 v 在与镜面平行平面的分量为 v∥ ，垂直分量为 v⊥ ，则
$$ \mathbf{v} = \mathbf{v} \parallel + \mathbf{v} \perp $$

向量关于镜面的镜像变换后，平行分量不变，垂直分量方向相反，即镜像向量