14、傅里叶变换：理论、性质与应用

傅里叶变换：理论、性质与应用

引言

控制工程是电气工程中一个重要的领域，它运用信号与系统理论来设计控制系统，以期望的方式调节一个或多个变量的行为。在我们的日常生活中，控制系统无处不在，像家用电器、汽车巡航控制器、电梯、交通灯等都依赖于控制系统。在航空航天领域和制造业，控制系统也发挥着关键作用。对于电气工程师来说，深入理解控制系统技术至关重要，傅里叶变换就是其中一项重要的工具。

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。它与傅里叶级数密切相关，并且在科学和工程领域的信号分析与处理中具有重要地位，尤其在图像处理、医学成像等方面。

傅里叶变换的定义

对于在某区间外为零的函数 (x(t))，其傅里叶级数和傅里叶变换之间存在紧密联系。随着计算傅里叶级数的区间长度增加，傅里叶级数系数逐渐趋近于傅里叶变换，傅里叶级数的和也趋近于逆傅里叶变换。

傅里叶变换本质上是复傅里叶级数在 (T \to \infty) 时的推广。如果 (x(t)) 是周期为 (T) 的周期函数，其复傅里叶级数展开为：
(\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t})
其中 (c_n = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt)。

当 (T \to \infty) 时，(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}) 变得极小，(n\omega_0) 成为连续变量，令 (\omega = n\omega_0) 且 (X(\omega) = Tc_n)，可得傅里叶变换：
(\mathcal{F}[x(t)] = X