9、拉普拉斯变换：原理、计算与应用

拉普拉斯变换：原理、计算与应用

1. 拉普拉斯变换的相关问题与求解

1.1 拉普拉斯变换的计算练习

在拉普拉斯变换的学习中，我们会遇到各种计算问题。例如，已知 (L[h(t)] = H(s)=\frac{2}{s(s + 5)})，需要求解以下几种情况的拉普拉斯变换：
- (a) (h(t - 2)) 的拉普拉斯变换 ：答案为 (\frac{e^{-2s}(s + 2)}{s(s + 5)})。
- (b) (h(4t)) 的拉普拉斯变换 ：答案是 (\frac{8}{s(s + 20)})。
- (c) (\frac{d}{dt}h(t)) 的拉普拉斯变换 ：结果为 (\frac{-3}{s + 5})。
- (d) (h(t)*h(t)) 的拉普拉斯变换 ：答案是 (\frac{(s + 2)^2}{s^2(s + 5)^2})。

1.2 初始值和终值的确定

对于给定的 (X(s))，我们可以计算其对应函数 (x(t)) 的初始值和终值。例如，已知 (X(s)=\frac{2s - 1}{(s - 2)(s^2+ 2s + 4)})，计算初始值 (x(0)) 的过程如下：
[
x(0)=\lim_{s\rightarrow\infty}sX(s)=\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{s(2s - 1)}{(s - 2)(s^2+ 2s + 4)}=\lim_{s\rightarrow\infty}\frac{2-\