34、实代数表达式的分离界研究

实代数表达式的分离界研究

在实代数表达式的研究中，分离界的确定对于许多计算和分析问题至关重要。本文将介绍一种新的分离界方法，并与其他已有的构造性根界进行比较，同时通过实验评估其性能。

1. 新规则与表达式转换

最初的观察表明，虽然之前的转换规则是自然的，但并不是获得无除法表达式 (E_1) 和 (E_2) 使得 (val(E) = val(E_1)/val(E_2)) 的唯一方法。除了最后一条规则，还可以使用以下规则：
- ( \frac{\sqrt[k]{A_1}}{A_2} \Rightarrow \frac{\sqrt[k]{A_1A_2^{k - 1}}}{A_2} )
- ( \frac{A_1}{\sqrt[k]{A_1^{k - 1}A_2}} )

新规则不会增加表达式的总次数，因此 (D(E_1)) 和 (D(E_2)) 至多为 (D(E))。在早期版本中，仅使用了新规则的第一种替代形式，后来发现同时使用这两条规则更有利。

2. 新的分离界推导

对于由特定项目定义的表达式，推导了一个分离界。具体步骤如下：
1. 多项式转换 ：对于多项式 (P(X) = \alpha_dX^d + \alpha_{d - 1}X^{d - 1} + \cdots + \alpha_1X + \alpha_0)，其中 (\alpha_i) 是任意实代数数，可将其写为 (\alpha_i = \frac{\nu_i}{\delta_i})，其中 (\nu_i) 和 (\delta_i) 是代数整数。通过乘以 (D = \prod \delta_i)，得到具有代数整数系数的多项