33、图算法与代数表达式分离界研究

图算法与代数表达式分离界研究

在图算法和代数表达式计算领域，有许多重要的研究成果和算法优化方法。下面将分别介绍图算法中的启发式方法以及代数表达式的分离界相关内容。

图算法中的启发式方法

在图算法中，一些问题可以通过特定的启发式方法进行优化，例如Dijkstra算法在多目标情况下的启发式优化以及二分匹配问题的求解。

1. 二分匹配问题

二分匹配问题包括赋值问题和最大权重匹配问题，这两种问题都可以转化为求解n个单源多目标最短路径（SSMTSP）问题。这里以赋值问题为例进行讨论。

一种流行的赋值问题算法遵循原始对偶范式，该算法同时构建完美匹配和对偶解。对偶解是一个函数π : V → IR，它为每个节点分配一个实势，其中V = A ∪ B。算法维护一个匹配M和势函数π，并满足以下性质：
- (a) 对于每条边e = (a, b)，有w(e) ≤ π(a) + π(b)。
- (b) 对于每条边e = (a, b) ∈ M，有w(e) = π(a) + π(b)。
- (c) 对于每个自由节点b ∈ B，有π(b) = 0。

算法初始时，M = ∅，对于每个a ∈ A，π(a) = maxe∈E w(e)，对于每个b ∈ B，π(b) = 0。算法在M成为完美匹配或者发现不存在完美匹配时停止，它以阶段的方式工作，每个阶段将匹配的大小增加1（或者确定不存在完美匹配）。

每个阶段包括搜索最小约简成本的增广路径。增广路径是从A中的自由节点开始，到B中的自由节点结束，并且交替使用不在M中的边和在M中的边的路径。边e = (a, b)的约简成本定义为w(e) = π(a) + π(b) - w(e)