AcWing 1236.递增三元组（看似枚举实则二分）

[题目概述]

给定三个整数数组
$A=[A_1,A_2,\dots A_N],$
$B=[B_1,B_2,\dots B_N],$
$C=[C_1,C_2,\dots C_N],$
请你统计有多少个三元组 (i,j,k)
满足：
$1\le i,j,k\le N$
$A_i<B_j<C_k$

输入格式

第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数 $A_1,A_2,\dots A_N$
第三行包含 N 个整数 $B_1,B_2,\dots B_N$
第四行包含 N 个整数 $C_1,C_2,\dots C_N$

输出格式

一个整数表示答案。

数据范围

1 ≤ N ≤ $10^5$,
0≤ $A_i,B_i,C_i$ ≤ $10^5$

输入样例：

3
1 1 1
2 2 2
3 3 3

输出样例：

27

• 分析题目
  题目就是让我们从三组数中选出三个数，满足A中的数小于B中的数小于C中的数。那么我们最先想到的就是三重循环分别枚举三个数，但很显然会超时，因为1 ≤ N ≤ $10^5$,所以我们最多只能枚举一个数，如果我们枚举A中的数,那么B C 是有联系的，我们无法往下计算，但如果我们枚举B中的数，A C 是相互独立的，那么我们只要从A中选出小于当前枚举的B中的数，从C中选出大于当前枚举的B的数就可，分析到这里就可以想到用二分法来解了。代码相对不是那么难写。
• 细节问题
  • 二分法枚举后，符合条件的数有多少呢？
    A中的数量应该是 l + 1 个而不是 l 个，因为我们的下标从0开始。
    C中的数量应该是 n - l 个而不是 n - 1 - l 个。
  • 边界问题处理

  if (a[l] >= b[j])
  		l = -1;
  
  if (c[p] <= b[j])
  		p = n;
  

• 完整代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 100005;
int a[N], b[N], c[N];
int n, sum;
int main () {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++)
		cin >> a[i];
	for (int i = 0; i < n; i ++)
		cin >> b[i];
	for (int i = 0; i < n; i ++)
		cin >> c[i];
	for (int j = 0; j < n; j ++) {
		sort(a, a + n);
		sort(c, c + n);
		int l = 0, r = n - 1;
		while (l < r) {
			int mid = (l + r + 1) / 2;
			if (a[mid] < b[j])
				l = mid;
			else
				r = mid - 1;
		}
		if (a[l] >= b[j])
			l = -1;
		int p = 0, q = n - 1;
		while (p < q) {
			int mid = (p + q) / 2;
			if (c[mid] > b[j])
				q = mid;
			else
				p = mid + 1;
		}
		if (c[p] <= b[j])
			p = n;

		sum += (l + 1) * (n - p); // A C 是相互独立的，数量应该乘起来
	}
	cout << sum << endl;
	return 0;
}

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