FZU 2282 Wand（错排+费马小定理）

最新推荐文章于 2018-08-20 17:04:45 发布

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本文详细解析了错排问题的基本概念与递推公式，并提供了具体的代码实现，包括初始化处理、快速幂运算及组合数计算等关键部分，有助于读者深入理解错排问题及其应用。

题意：给你n个人, k 个数, 任意交换n个人的顺序，1号还在一号位就表示它的位置是对的. 则问你至少k个人还在对的位置的方案有几种.

关于错排的解释：解释：
n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

证毕。

所以这题还是挺好写的。。参考http://blog.youkuaiyun.com/mr_treeeee/article/details/76272785

LL cp[N];  
LL k[N];  
void init()  
{  
    cp[1]=0;  
    cp[2]=1;  
    for(int i=3;i<=10000;i++)  
    {  
        (cp[i]=(i-1)*(cp[i-1]+cp[i-2]))%=p;  
    }  
    k[0]=1;  
    for(int i=1;i<=10000;i++)  
    {  
        (k[i]=k[i-1]*i)%=p;  
    }  
}  
LL qkm(LL base,LL mi)  
{  
    LL ans=1;  
    while(mi)  
    {  
        if(mi&1)  
            (ans*=base)%=p;  
        (base*=base)%=p;  
        mi>>=1;  
    }  
    return ans;  
}  
LL C(int i,int n)  
{  
    return ((k[n]*qkm((k[n-i]*k[i])%p,p-2))%p);//组合数C有除数，要取模就用逆元或者是费马小定理
}  
int main()  
{  
    int n,k;  
    int T;  
    init();  
    scanf("%d",&T);  
    while(T--)  
    {  
        scanf("%d %d",&n,&k);  
        LL ans=1;  
        for(int i=2;i<=n-k;i++)  
        {  
            (ans+=cp[i]*C(i,n))%=p;  
        }  
        printf("%lld\n",ans);  
    }  
}