弹性变形与采样，旋转，形变场可视化

Dense Deformation（Elastic deformation）的采样与可视化
对于采样(sample)而言，分为前向与后向。前向直观上更容易理解，但实际应用会有问题，因此，算法中的采样操作一般为后向。

采样

前向采样：

• 将输入图像坐标p1根据DDF(Dense deformation Feild)或Affine Matrix或其他方式进行变换得到坐标p2，输入图像p1坐标处的值 映射到输出图像 p2处。

伪代码示例：

#与input_image shape一致的空矩阵
output_image = empty_array()
for row in input_image.height:
	for col in input_image.width:
		# 或者 dx,dy = Affinematrix*[row,col]
		dx,dy = random(),random()
		output_image[row+dy,col+dx] = input_image[row,col]

这样会出现的问题是，output_image中，很多坐标上没有值。而后向采样就能解决这个问题。

后向采样：

• 将输出图像坐标p1根据DDF(Dense deformation Feild)或Affine Matrix的逆或其他方式进行变换得到坐标p2，输出图像p1坐标处的值 根据输入图像 p2坐标处经过插值算法得到的像素值确定。

伪代码示例：

#与input_image shape一致的空矩阵
output_image = empty_array()
for row in output_image.height:
	for col in output_image.width:
		# 或者 dx,dy = Affinematrix_inverse*[row,col]
		dx,dy = random(),random()
		# 根据插值算法，得到input_image中(row+dy,col+dx)处的像素值
		value = interpolate(input_image,row+dy,col+dx)
		output_image[row,col] = value

由伪代码也易看出，后向采样可以确保输出图像中每个坐标都有对应的像素值（若row+dy或col+dx超出输入图像范围，value=None，则是变形的结果，而不是输出图像这一坐标没有值）

(更新)旋转

（2020-6-24）在实现图像旋转时同样遇到了前向采样、后向采样这个问题，觉得很容易弄糊涂，特此记录下自己的一点理解。
已知旋转矩阵（具体推导见后文）为
$$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$
其中的$\theta$定义了逆时针旋转的角度（没有特别说明时，旋转中心即图像原点，此处也就是图像左上角）。下面的代码将一个横条旋转了30度。

def warpRotate(image, matrix):
    height, width = image.shape[:2]
    dst = np.zeros((height, width))
 
    for x in range(height):
        for y in range(width):
           
            u = int(x*matrix[0,0]+y*matrix[0,1])
            v = int(x*matrix[1,0]+y*matrix[1,1])
           	# 为了直观，这儿用的是前向采样
            if (u >= 0 and u < height) and (v >= 0 and v < width):
                dst[u,v] = image[x,y]
    return dst

#定义原始图像
size = 11
img = np.zeros((size, size))
img[int((size-1)/2), :] = np.ones(size)
#定义旋转矩阵
theta = np.radians(30) 
c, s = np