本文详细介绍了三维空间中的各种几何变换，包括仿射变换、旋转、缩放和平移，以及罗德里格斯旋转公式。此外还讲解了视图变换和投影变换的概念与实现方法，涉及正交投影和透视投影。
3D Transformation
Affine Transformation
(x′y′z′1)=(abctxdeftyghitz0001)⋅(xyz1)\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y\\g&h&i&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛adg0beh0cfi0txtytz1⎠⎟⎟⎞⋅⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞
作用顺序是先进行线性变换（旋转、缩放）再进行平移变换，作用结果与三维矩阵乘三维向量加上一个代表位移的三维向量效果一致。
Scale
S(sx,sy,sz)=(sx0000sy0000sz00001)\bold{S}(s_x, s_y, s_z)=\begin{pmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}S(sx,sy,sz)=⎝⎜⎜⎛sx0000sy0000sz00001⎠⎟⎟⎞
Translation
T(tx,ty,tz)=(100tx010ty001tz0001)\bold{T}(t_x, t_y, t_z)=\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{pmatrix}T(tx,ty,tz)=⎝⎜⎜⎛100001000010txtytz1⎠⎟⎟⎞
Rotation
绕x,y,z轴旋转
Rx(α)=(10000cosα−sinα00sinαcosα00001)\bold{R}_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0\\0&\sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}Rx(α)=⎝⎜⎜⎛10000cosαsinα00−sinαcosα00001⎠⎟⎟⎞
绕y轴旋转的矩阵的−sinα-\sin{\alpha}−sinα在左下角而不是右上角，这里貌似是y轴是z⃗×x⃗\vec{z}\times\vec{x}z×x的出来的，和xyz这个顺序不一样（顺序一样的时候y应该由x⃗×z⃗\vec{x}\times\vec{z}x×z得到）
Ry(α)=(cosα0sinα00100−sinα0cosα00001)\bold{R}_y(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos{\alpha}&0&\sin{\alpha}&0\\0&1&0&0\\-\sin{\alpha}&0&\cos{\alpha}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}Ry(α)=⎝⎜⎜⎛cosα0−sinα00100sinα0cosα00001⎠⎟⎟⎞
Rz(α)=(cosα−sinα00sinαcosα0000100001)\bold{R}_z(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0&0\\\sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}Rz(α)=⎝⎜⎜⎛cosαsinα00−sinαcosα0000100001⎠⎟⎟⎞
Rodrigues’ Rotation Formula
描述绕轴n⃗\vec{n}n旋转α\alphaα(默认轴过原点，如果不过原点则先将其移动到原点，旋转后再移回原位)
R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)(0−nznynz0−nx−nynx0)⏟N\bold{R}(\bold{n}, \alpha)=\cos{(\alpha)}\bold{I}+(1-\cos{(\alpha}))\bold{n}\bold{n}^T+\sin{(\alpha)}\underbrace{\begin{pmatrix}0&-n_z&n_y\\
n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0\end{pmatrix}}_{\bold{N}}R(n,α)=cos(α)I+(1−cos(α))nnT+sin(α)N⎝⎛0nz−ny−nz0nxny−nx0⎠⎞
证明（课程附带资料）如下：
描述s⃗绕任一轴a⃗\vec{s}绕任一轴\vec{a}s绕任一轴a旋转
s⃗\vec{s}s在a⃗\vec{a}a上的投影s//⃗=(a⃗⋅s⃗)a⃗=a⃗a⃗Ts⃗\vec{s_{//}}=(\vec{a}\cdot\vec{s})\vec{a}=\vec{a}\vec{a}^T\vec{s}s//=(a⋅s)a=aaTs，其中a⃗a⃗T\vec{a}\vec{a}^TaaT为张量积。
- 证明张量积等于投影：
(a⃗⋅s⃗)a⃗=(axsx+aysy+azsz)(axayaz)=(ax2axayaxazaxayay2ayazaxazayazaz2)(sxsysz)=aaTs⃗(\vec{a}\cdot\vec{s})\vec{a}=(a_xs_x+a_ys_y+a_zs_z)\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{x}^2&a_xa_y&a_xa_z\\a_xa_y&a_{y}^2&a_ya_z\\a_xa_z&a_ya_z&a_{z}^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_x\\s_y\\s_z\end{pmatrix}=aa^T\vec{s}(a⋅s)a=(axsx+aysy+azsz)⎝⎛axayaz⎠⎞=⎝⎛ax2axayaxazaxayay2ayazaxazayazaz2⎠⎞⎝⎛sxsysz⎠⎞=aaTs
将s⃗分解为s⊥⃗和s//⃗,s⊥⃗=s⃗−s//⃗\vec{s}分解为\vec{s_\perp}和\vec{s_{//}},\vec{s_{\perp}}=\vec{s}-\vec{s_{//}}s分解为s⊥和s//,s⊥=s−s//
设b⃗=normalize(s⊥⃗)=s⊥⃗∥s⊥⃗∥，显然b⃗与a⃗互相垂直。\vec{b}=normalize(\vec{s_{\perp}})=\frac{\vec{s_{\perp}}}{\|\vec{s\perp}\|}，显然\vec{b}与\vec{a}互相垂直。b=normalize(s⊥)=∥s⊥∥s⊥，显然b与a互相垂直。
设向量c⃗=a⃗×b⃗=a⃗×s⊥⃗∥s⊥⃗∥=a⃗×s⃗∥s⊥∥⃗（s⃗和a⃗平行的部分叉乘结果为0）\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\frac{\vec{a}\times\vec{s_{\perp}}}{\|\vec{s_{\perp}}\|}=\frac{\vec{a}\times\vec{s}}{\|\vec{s_{\perp}\|}}（\vec{s}和\vec{a}平行的部分叉乘结果为0）c=a×b=∥s⊥∥a×s⊥=∥s⊥∥a×s（s和a平行的部分叉乘结果为0）
s⃗绕a⃗旋转旋转θ角的结果sRot⃗=s⊥Rot⃗+s//⃗(因为s//⃗不参与旋转)\vec{s}绕\vec{a}旋转旋转\theta角的结果\vec{s^{Rot}}=\vec{s_{\perp}^{Rot}}+\vec{s_{//}}(因为\vec{s_{//}}不参与旋转)s绕a旋转旋转θ角的结果sRot=s⊥Rot+s//(因为s//不参与旋转)
而s⊥Rot⃗=∥s⊥⃗∥cosθb⃗+∥s⊥⃗∥sinθc⃗\vec{s_{\perp}^{Rot}}=\|\vec{s_{\perp}}\|\cos{\theta}\vec{b}+\|\vec{s_{\perp}}\|\sin{\theta}\vec{c}s⊥Rot=∥s⊥∥cosθb+∥s⊥∥sinθc
化简sRot⃗=s⊥Rot⃗+s//⃗=cosθs⊥⃗+sinθa⃗×s⃗+s//⃗，将叉乘写成矩阵形式=cosθ(s⃗−s//⃗)+s//⃗+sinθ(0−azayaz0−ax−ayax0)s⃗=cosθs⃗+(1−cosθ)s//⃗+sinθ(0−azayaz0−ax−ayax0)s⃗=(cosθI+(1−cosθ)aaT+sinθ(0−azayaz0−ax−ayax0))s⃗\vec{s^{Rot}}=\vec{s_{\perp}^{Rot}}+\vec{s_{//}}\\=
\cos{\theta}\vec{s_\perp}+\sin{\theta}\vec{a}\times\vec{s}+\vec{s_{//}}，将叉乘写成矩阵形式\\=
\cos{\theta}(\vec{s}-\vec{s_{//}})+\vec{s_{//}}+\sin{\theta}\begin{pmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\end{pmatrix}\vec{s}\\
=\cos{\theta}\vec{s}+(1-\cos{\theta})\vec{s_{//}}+\sin{\theta}\begin{pmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\end{pmatrix}\vec{s}\\
=(\cos{\theta}\bold{I}+(1-\cos{\theta})aa^T+\sin{\theta}\begin{pmatrix}0&-a_z&a_y\\a_z&0&-a_x\\-a_y&a_x&0\end{pmatrix})\vec{s}sRot=s⊥Rot+s//=cosθs⊥+sinθa×s+s//，将叉乘写成矩阵形式=cosθ(s−s//)+s//+sinθ⎝⎛0az−ay−az0axay−ax0⎠⎞s=cosθs+(1−cosθ)s//+sinθ⎝⎛0az−ay−az0axay−ax0⎠⎞s=(cosθI+(1−cosθ)aaT+sinθ⎝⎛0az−ay−az0axay−ax0⎠⎞)s
证毕
Viewing Transformation
View/Camera Transformation
将物品渲染到窗口要经过三次变换
model：将物品按照世界坐标摆放
view：将物品从世界坐标转换为以摄像机为原点的坐标
projection：将物品从以摄像机为原点的坐标投影到窗口所在的平面
如何得到View Transformation
先定义摄像机：
- Postition e⃗\vec{e}e
- Look-at / gaze g^\hat{g}g^
- Up direction t^\hat{t}t^(假定与look-at向量垂直)
然后将摄像机移动到原点，并将摄像机的三个轴与原点的三个轴对齐，则View Transformation可以分解成移动和旋转矩阵轮流作用。
Mview=RviewTviewM_{view}=R_{view}T_{view}Mview=RviewTview
移动到原点的矩阵很容易得到：
Tview=(100−xe010−ye001−ze0001)T_{view}=\begin{pmatrix}
1&0&0&-x_e\\
0&1&0&-y_e\\
0&0&1&-z_e\\
0&0&0&1\end{pmatrix}Tview=⎝⎜⎜⎛100001000010−xe−ye−ze1⎠⎟⎟⎞
但将三个轴对齐的矩阵就不那么直观。我们可以先写出将原点的三个轴旋转到和摄像机三个轴对齐的矩阵，然后再求逆矩阵获得。
将原点三个轴转到摄像机三个轴的矩阵很容易得到，即将三基向量变成摄像机的三个轴的基向量即可：
Rview−1=(xg^×t^xtx−g0yg^×t^yty−g0zg^×t^ztz−g00001)R^{-1}_{view}=\begin{pmatrix}
x_{\hat{g}\times\hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0\\
y_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0\\
z_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}Rview−1=⎝⎜⎜⎛xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xtytzt0x−gy−gz−g00001⎠⎟⎟⎞
又因为旋转矩阵为正交矩阵，所以逆矩阵为转置矩阵：
Rview=(xg^×t^yg^×t^zg^×t^0xtytzt0x−gy−gz−g00001)R_{view}=\begin{pmatrix}
x_{\hat{g}\times\hat{t}} &y_{\hat{g}\times\hat{t}} &z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0\\
x_t & y_t &z_t & 0\\
x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}Rview=⎝⎜⎜⎛xg^×t^xtx−g0yg^×t^yty−g0zg^×t^ztz−g00001⎠⎟⎟⎞
对世界坐标中的物体施展View Transformation，则可得到其在以相机为原点的坐标系中的坐标。
Project Transformation
投影矩阵分两种：
- Orthographic project 正交投影
- Perspective project 透视投影
本质表现的区别就是透视投影会有近大远小的效果。
Orthographic project
在空间中定义一个立方体( [l, r] x [b, t] x [f, n] ，这里f要比n小)，将立方体转换为canonical (正则、规范、标准)” cube( [-1, 1]3)。 这个过程中物体会被拉伸
正交变换
Mortho=SorthoTortho=(2r−l00002t−b00002n−f00001)(100−r+l2010−t+b2001−n+f20001)M_{ortho}=S_{ortho}T_{ortho}=\begin{pmatrix}
\frac{2}{r-l}&0&0&0\\
0&\frac{2}{t-b}&0&0\\
0&0&\frac{2}{n-f}&0\\
0&0&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\
0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\
0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\
0&0&0&1\end{pmatrix}Mortho=SorthoTortho=⎝⎜⎜⎛r−l20000t−b20000n−f200001⎠⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎛100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1⎠⎟⎟⎞
Perspective project
可以先将远平面的物体压缩到一个和近平面等大的平面上（这个变换定义为Mperp−>orthoM_{perp->ortho}Mperp−>ortho），再实施正交投影。
从侧方观察视锥，可得相似三角形关系：
同理可得x′=nzxx^{'}=\frac{n}{z}xx′=znx
在齐次坐标中：
(x′y′z′1) ⟹ (nx/znt/zunkown1)==(nxnystill unkownz)\begin{pmatrix}x^{'}\\y^{'}\\z^{'}\\1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}nx/z\\nt/z\\unkown\\1\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}nx\\ny\\still\ unkown\\z\end{pmatrix}⎝⎜⎜⎛x′y′z′1⎠⎟⎟⎞⟹⎝⎜⎜⎛nx/znt/zunkown1⎠⎟⎟⎞==⎝⎜⎜⎛nxnystill unkownz⎠⎟⎟⎞
可得
Mperp−>ortho(xyz1)=(nxnystill unkownz)M_{perp->ortho}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}nx\\ny\\still\ unkown\\z\end{pmatrix}Mperp−>ortho⎝⎜⎜⎛xyz1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛nxnystill unkownz⎠⎟⎟⎞
由此可得出矩阵的部分数值
Mperp−>ortho=(n0000n00???？0010)M_{perp->ortho}=\begin{pmatrix}
n&0&0&0\\
0&n&0&0\\
?&?&?&？\\
0&0&1&0\end{pmatrix}Mperp−>ortho=⎝⎜⎜⎛n0?00n?000?100？0⎠⎟⎟⎞
然后考察两个关系：
- 任何在近平面的点变换前后不变
- 在远平面的点的z值在变换前后不变
写出两个关系可得：
近平面上（z=n）：
Mperp−>orhto(xyn1)=(xyn1)==(nxnyn2n)M_{perp->orhto}\begin{pmatrix}x\\y\\n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\n\\1\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}nx\\ny\\n_2\\n\end{pmatrix}Mperp−>orhto⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛xyn1⎠⎟⎟⎞==⎝⎜⎜⎛nxnyn2n⎠⎟⎟⎞
由于z分量和xy无关,设:
Mperp−>ortho=(n0000n0000AB0010)M_{perp->ortho}=\begin{pmatrix}
n&0&0&0\\
0&n&0&0\\
0&0&A&B\\
0&0&1&0\end{pmatrix}Mperp−>ortho=⎝⎜⎜⎛n0000n0000A100B0⎠⎟⎟⎞
其中An+B=n2An+B=n^2An+B=n2
远平面（n=f）,取点(0, 0, f, 1)：
Mperp−>orhto(00f1)=(00f1)==(00f2f)M_{perp->orhto}\begin{pmatrix}0\\0\\f\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\f\\1\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}0\\0\\f^2\\f\end{pmatrix}Mperp−>orhto⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛00f1⎠⎟⎟⎞==⎝⎜⎜⎛00f2f⎠⎟⎟⎞
得到Af+B=f2得到Af+B=f^2得到Af+B=f2
结合两式解的
A=n+fB=−nfA=n+f \newline
B=-nfA=n+fB=−nf
至此，已经得到了Mperp−>orthoM_{perp->ortho}Mperp−>ortho
而透视矩阵为
Mperp=MorhtoMperp−>orhtoM_{perp}=M_{orhto}M_{perp->orhto}Mperp=MorhtoMperp−>orhto
扫一扫
7997
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
