矩阵快速幂求解递推-优快云博客

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法，并通过一个具体例子展示了如何进行分块快速幂运算。文章提供了完整的C++代码实现。

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题解

由题意可列矩阵
A= $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 10^k & 1 &1\\ \end{pmatrix}$

F(n-1)= $\begin{pmatrix} 1\\ i-1\\ f[n-1]\\ \end{pmatrix}$

F(n)=A * F(n-1)
所以就可以用矩阵快速幂了，但是这题要注意分块快速幂。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define rep(i,x,y) for(int i = x;i <= y;i++)
#define dep(i,x,y) for(int i = x;i >= y;i--)
#define fill(a,x) memset(a,0,sizeof(a))
typedef long long LL;

LL n,mod,p[20];

struct matrix{
    LL f[4][4];
}A,ans;

matrix mul(matrix a,matrix b)
{
    matrix s;
    fill(s.f,0);
    rep(i,1,3) rep(j,1,3) rep(k,1,3)
        s.f[i][j] = (s.f[i][j] + (a.f[i][k] * b.f[k][j]) % mod) % mod;
    return s;
}

matrix pows(matrix e,LL b)
{
    matrix s,a;
    a = e;
    rep(i,1,3) rep(j,1,3) if(i == j) s.f[i][j] = 1; else s.f[i][j] = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1) s = mul(s,a);
        a = mul(a,a);
        b = b >> 1;
    }
    return s;
}

int main()
{
    int maxk;
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    p[0] = 1;
    for(int i = 1;i <= 18;i++)
    {
        p[i] = p[i-1] * 10;
        if(n < p[i] && n >= p[i-1]) maxk = i;
    }
    if(mod == 1){printf("0\n");return 0;}

    fill(ans.f,0);
    rep(i,1,3) ans.f[i][i] = 1;
    int k = 1;

    matrix e;
    while(k < maxk)
    {
        fill(A.f,0);
        rep(i,1,3) rep(j,1,i) A.f[i][j] = 1;
        A.f[3][3] = p[k] % mod;

        e = pows(A,p[k] - p[k-1]);
        ans = mul(e,ans);
        k ++;
    }
    fill(A.f,0);
    rep(i,1,3) rep(j,1,i) A.f[i][j] = 1;
    A.f[3][3] = p[k] % mod;

    e = pows(A,n - p[k-1] + 1);
    ans = mul(e,ans);
    printf("%lld\n",ans.f[3][1]);
    return 0;
}