LA3882(约瑟夫问题及变形)

本文介绍了一个约瑟夫问题的变式,通过数学推导给出了一种简洁高效的求解方法。文中详细解释了如何调整序列以简化问题,并提供了一个C++实现的例子。

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我相信大家早就了解了约瑟夫问题

如小学的  猴子选大王:一堆猴子都有编号,编号是1,2,3 ...m,这群猴子(m个)按照1-m的顺序围坐一圈,从第1开始数,每数到第N个,该猴子就要离开此圈,这样依次下来,直到圈中只剩下最后一只猴子,则该猴子为大王。

作为一道相当经典的题,还有一个使其更简单的变式


题目链接:acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=11350

题目大意:

N个数排成一圈,第一次删除m,以后每k个数删除一次,求最后一被删除的数(即最后留下是的数,下面用“胜利者”来代指要求的数)


题解:

假设从0开始删除第k个数,很显然,第 k mod n个人背踢出,然后剩下的n-1个人组成一个新环,并且胜利者一定在中间)

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换:

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

k-2 --> n-2

接下来需要将胜利者的序号调整回来,这十分简单:x'=(x+k) mod n

那么我们如何在(n-1)个数中寻找胜利者呢?显而易见,他一定在去掉第k mod n个人的(n-2)人中,再调整为0~n-2,然后不断递推

公式:

f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
又因为m<>0,所以答案是ans=(m-k+1+f[n])%n,注意要处理ans<=0的情况(ans=ans+n)

下面是代码:

#include<cstdio> 

int main()
{
  int n,m,k,f;
  while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&m)==3&&n)
  {
  	f=0;
  	for(int i=2;i<=n;i++)f=(f+k)%i;
  	f=(m-k+1+f)%n;
  	if(f<=0)f+=n;
  	printf("%d\n",f);
  }
}

因为不需要保存f,所以不需数组f[n],这样可以大大的减小内存


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