扩展欧几里得例题

 青蛙的约会poj1061

设两只青蛙跳了T次

由题意可知

Tn+X=Tm+y≡w(mod L)   //w为任意数

因为它们在环上运动,所以可以把式子转化一下

Tn-Tm≡X-Y(mod L)

即 T(n-m)+Lp=X-Y(p为整数)

一看这个式子很眼熟,这不就是ax+by=c吗

所以可以用扩展欧几里得算法解这个不等式

因为要计算最小正整数解,x=(x%(L/d)+L/d)%(L/d);   //d=gcd(n-m,L)

为什么要x=(x%(L/d)+L/d)%(L/d);??

这里讲的很清楚      https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1516     

 

上代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        d=a;x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    int t=x;x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return ;
}
ll X,Y,m,n,l;
int main(){
    X=read();Y=read();m=read();n=read();l=read();
    ll d,a,b;
    if(n<m){swap(n,m);swap(X,Y);}
    exgcd(n-m,l,d,a,b);
    if((X-Y)%d!=0 || m==n){printf("Impossible");return 0;}
    a=a*(X-Y)/d+l/d;
    a=(a%(l/d)+l/d)%(l/d);
    printf("%lld",a);
    return 0;
}

 

 

 同余方程noip2012

这道题裸地扩欧

ax≡1(mod b)

ax+by=1;

 

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;d=a;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    int t=x;x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return ;
}

ll a,b,x,y,d;
int main(){
    a=read();b=read();
    exgcd(a,b,d,x,y);
    printf("%lld",(x+b)%b);
    return 0;
}

 

Sumdiv   poj1845

这道题首先要了解一个数的约数和的公式

然后对每个质因子进行等比数列公式求和

公式为(a^(n+1)-1)/(a-1)    (a为一个数的任意质因子,n为这个质因子的个数)

所以我们用快速幂求a^(n+1), 用逆元求1/(a-1)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;
const int MOD=9901;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

ll m,A,B,p[20],c[20];
void divide(ll n){    //质因数分解 
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
           if(n%i==0){
            p[++m]=i;
            while(n%i==0)n/=i,c[m]++;
            c[m]*=B;
        }
        
    }
    if(n>1)p[++m]=n,c[m]=B;
    return ;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){  //扩欧 
    if(!b){
        d=a;x=1;y=0;
        return ;    
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    ll t=x;x=y;
    y=t-a/b*y;
    return;
}

ll power(ll a,ll b){   //快速幂 
    ll c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=(c*a)%MOD;
        b>>=1;
        a=(a*a)%MOD;
    }
    return c%MOD;
}

int main(){
    A=read();B=read();
    divide(A);
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        if((p[i]-1)%MOD==0){   //没有逆元,特判 
            ans=((c[i]+1)*ans)%MOD;        
            continue;
        }
        ll kk=(power(p[i],c[i]+1)%MOD-1+MOD)%MOD;   
        ll d,x,y;
        exgcd(p[i]-1,MOD,d,x,y);
        x=((x/d)%(MOD/d)+(MOD/d))%(MOD/d)%MOD;
        //用等比数列公式求出约数和 
        ans=(ans*kk*x)%MOD;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

 

 

 

转载于:https://www.cnblogs.com/wzq--boke/p/9753722.html

### 使用扩展欧几里得算法求解逆元 当给定两个整数 \(a\) 和 \(m\) 并希望找到满足条件 \( ax \equiv 1 (\text{mod}\ m)\) 的 \(x\) 值时,可以利用扩展欧几里得算法来解决这个问题。该算法不仅能够计算最大公约数 (gcd),还能找出一对整数 \(x\) 和 \(y\) 使得 \(ax + by = gcd(a, b)\)[^1]。 对于求解模 \(m\) 下的乘法逆元而言,如果 \(gcd(a,m)=1\) 成立,则存在唯一的 \(x\) 满足上述同余关系;此时 \(x\) 即为所需求的逆元[^2]。 #### 示例题目解释 假设现在要找的是在模 \(8\) 条件下的 \(3\) 的逆元: 由于 \(gcd(3,8)=1\), 故可应用扩展欧几里得算法得到如下过程: 通过执行辗转相除法直到余数为零为止,并记录每一步的结果用于回代求解系数\(x,y\) : \[ \begin{align*} &8=3\times2+2\\ &3=2\times1+1\\ &2=1\times2+0 \\ \end{align*} \] 接着从最后一行开始向上逐步替换表达式中的被除项直至最上面一行完成整个方程式的转换工作: \[ \begin{align*} &1=3-(2\times1)\\ &=3-[8-(3\times2)]\times1\\ &=(3\times3)-(8\times1) \end{align*} \] 因此,在此情况下我们找到了一组特解 \(x_0=3,\ y_0=-1\) ,即有 \(3\times3-8\times(-1)=1\) 。所以在这个例子中,\(3\) 关于模 \(8\) 的逆元就是 \(3\) 自身[^3]。 ```cpp // C++ code to demonstrate Extended Euclidean Algorithm for finding modular inverse. #include <iostream> using namespace std; int extendedEuclid(int a, int b, int *x, int *y){ if(b==0){ *x = 1; *y = 0; return a; // returns GCD of 'a' and 'b' }else{ int r = extendedEuclid(b,a%b,x,y); int t=*x; *x=*y; *y=t-a/b**y; return r; } } void findModInverse(int A,int M){ int x,y,gcd; gcd=extendedEuclid(A,M,&x,&y); if(gcd!=1){cout<<"No solution exists";return;} cout<<(M+x%M)%M<<endl;// Ensure the result is positive } int main(){ int a=3,m=8; findModInverse(a,m); return 0; } ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值