扩展欧几里得例题

最新推荐文章于 2022-07-04 10:23:32 发布

weixin_33856370

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原文链接：http://www.cnblogs.com/wzq--boke/p/9753722.html

设两只青蛙跳了T次

由题意可知

Tn+X=Tm+y≡w(mod L) //w为任意数

因为它们在环上运动，所以可以把式子转化一下

Tn-Tm≡X-Y(mod L)

即 T(n-m)+Lp=X-Y(p为整数)

一看这个式子很眼熟，这不就是ax+by=c吗

所以可以用扩展欧几里得算法解这个不等式

因为要计算最小正整数解，x=(x%(L/d)+L/d)%(L/d); //d=gcd(n-m,L)

为什么要x=(x%(L/d)+L/d)%(L/d);？？

这里讲的很清楚 https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1516

上代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        d=a;x=1;y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    int t=x;x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return ;
}
ll X,Y,m,n,l;
int main(){
    X=read();Y=read();m=read();n=read();l=read();
    ll d,a,b;
    if(n<m){swap(n,m);swap(X,Y);}
    exgcd(n-m,l,d,a,b);
    if((X-Y)%d!=0 || m==n){printf("Impossible");return 0;}
    a=a*(X-Y)/d+l/d;
    a=(a%(l/d)+l/d)%(l/d);
    printf("%lld",a);
    return 0;
}

这道题裸地扩欧

ax≡1（mod b）

ax+by=1;

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;

inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1;y=0;d=a;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    int t=x;x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return ;
}

ll a,b,x,y,d;
int main(){
    a=read();b=read();
    exgcd(a,b,d,x,y);
    printf("%lld",(x+b)%b);
    return 0;
}

这道题首先要了解一个数的约数和的公式

然后对每个质因子进行等比数列公式求和

公式为(a^(n+1)-1)/(a-1) (a为一个数的任意质因子，n为这个质因子的个数）

所以我们用快速幂求a^(n+1)，用逆元求1/(a-1)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10101;
const int MOD=9901;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
    return x*f;
}

ll m,A,B,p[20],c[20];
void divide(ll n){    //质因数分解 
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
           if(n%i==0){
            p[++m]=i;
            while(n%i==0)n/=i,c[m]++;
            c[m]*=B;
        }
        
    }
    if(n>1)p[++m]=n,c[m]=B;
    return ;
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){  //扩欧 
    if(!b){
        d=a;x=1;y=0;
        return ;    
    }
    exgcd(b,a%b,d,x,y);
    ll t=x;x=y;
    y=t-a/b*y;
    return;
}

ll power(ll a,ll b){   //快速幂 
    ll c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=(c*a)%MOD;
        b>>=1;
        a=(a*a)%MOD;
    }
    return c%MOD;
}

int main(){
    A=read();B=read();
    divide(A);
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        if((p[i]-1)%MOD==0){   //没有逆元，特判 
            ans=((c[i]+1)*ans)%MOD;        
            continue;
        }
        ll kk=(power(p[i],c[i]+1)%MOD-1+MOD)%MOD;   
        ll d,x,y;
        exgcd(p[i]-1,MOD,d,x,y);
        x=((x/d)%(MOD/d)+(MOD/d))%(MOD/d)%MOD;
        //用等比数列公式求出约数和 
        ans=(ans*kk*x)%MOD;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}