37、稀疏矩阵向量乘法与断层成像计算的硬件选择与实现

稀疏矩阵向量乘法与断层成像计算的硬件选择与实现

一、断层成像概述

计算机断层成像（CT）是一种从一系列二维投影图像重建物体三维图像的知名成像技术，在医学CT扫描仪中有着重要应用，能创建患者内脏的高分辨率图像。目前流行的重建算法如滤波反投影和Feldkamp算法虽计算高效，但存在需大量投影才能准确重建、对测量数据噪声敏感等缺点。而迭代重建技术虽无这些弊端，但计算量极大，重建大图像时运行时间过长，影响其实践应用。

迭代断层成像算法通常将未知物体图像离散化为像素（三维成像时为体素）阵列，投影过程可建模为线性方程组$W x = p$，其中$W$为投影矩阵，其元素表示$x$中体素对$p$中投影值的贡献。由于$W$元素数量庞大，无法显式计算其广义逆或存储在内存中，因此该线性方程组采用迭代方式求解，投影矩阵的元素通常在计算时动态生成。

常见的迭代重建算法如SART、OSEM和SIRT等结构相似，都包含前向投影和反向投影步骤。以SIRT算法为例，其迭代步骤如下：
1. 前向投影 ：计算当前重建图像$x^{(k)}$的投影数据$p^{(k)}$，即$p^{(k)} = W x^{(k)}$。
2. 差值计算 ：确定计算得到的投影$p^{(k)}$与测量投影$p$之间的差值，并通过对角矩阵$β$加权，$e^{(k)} = β(p - p^{(k)})$。
3. 反向投影 ：将每个探测器元素的差值分散到重建体积的相应直线上，$u^{(k)} = γW^T(p - p^{(k)})$，其中$γ$是描述每个探测器元素对重建值贡献的对角矩阵。
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