8、抽象状态机与控制器综合：理论、实例与连续扩展

抽象状态机与控制器综合：理论、实例与连续扩展

1. 可允许系统的控制器综合定理

在系统控制领域，对于可允许系统的控制器综合问题有重要定理。若系统 Sys 是可允许的，当满足以下条件时，该系统具有可解决的控制器综合问题：
对于所有规则 OP 及其派生规则 OPC 和 OPP，以及可达状态 xs，有：
[
[ Domain(xs) \land guardC(xsC, xsc_P, parsC) \Rightarrow guard(xs, pars) ] \land
[ Domain(xs) \land guardP(xsP, xsp_C, parsP) \Rightarrow guard(xs, pars) ]
]
这里的 Domain(xs) 是系统 Sys 开发的领域理论。

1.1 定理证明

证明此定理采用对运行长度进行归纳的方法：
- 基础情况 ：Sys 和 SysC + P 的初始状态相同，所以基础情况显然成立。
- 归纳步骤 ：假设对于长度为 n 或更短的所有 SysC + P 运行结果成立。选择一个长度为 n 的可扩展运行 rr，这意味着在 rr 到达的最终状态 xs 中，存在某个规则（如 OPC）被启用。因为 OPC 在 xs 中启用，所以 guardC 成立，根据上述条件，guard 也成立。又因为 guardP 弱化了 guard，所以 guardP 成立，进而 OPP 被启用。由于 OPC 和 OPP 都被启用，SysC + P 在运行的下一步中模拟了 Sys 的更新。对在 xs 中启用的 SysC + P