1、混沌密码学：混沌入门与动力系统解析

混沌密码学：混沌入门与动力系统解析

混沌是一种引人入胜的现象，在自然界和实验室中都有广泛的观察。在自然界，像天气和气候、太阳系中卫星的动力学、天体磁场的时间演化以及生态系统中的种群增长等都存在混沌现象；在实验室里，如电路、激光、化学反应、流体动力学、机械系统和磁机械装置等也能观察到混沌行为。

自1990年混沌同步和混沌控制理论得到更深入研究后，混沌在通信和信号处理领域的应用逐渐确立。如今，准随机序列生成、利用混沌对通信信道进行建模、混沌密码学、数字图像编码以及复杂网络中的混沌传输现象等，都是具有商业可行性工程解决方案的研究领域。

动力系统

基本概念

研究模型或实验设置时，我们会定义或选择一个可观测变量。可观测变量由动力系统生成，不同的动力系统可能生成相同的可观测变量。数学家在定义系统的通用动力特性时，通常会强调系统的最低维度。

例如，对于函数 (f(x) = e^{\lambda x})（一般可以是任意N维定律），当 (x \in {1,2,…}) 时：
- (f(1) = e^{\lambda})
- (f(2) = e^{2\lambda})

选择两个相邻的 (x) 值 (K) 和 (K + 1)，可以得到：
[
\frac{f(K + 1)}{f(K)} = e^{\lambda} \to \lambda = \ln \frac{f(K + 1)}{f(K)}
]
其中 (K = x \in [1,2,…])，这样就能重构生成该函数的动力定律 (\dot{x} = \lambda x)。

对于连续可观测变量或持续变化的现象，动力系统