18、量子力学中的波包扩展与谐振子的算符解法

量子力学中的波包扩展与谐振子的算符解法

1. 波包扩展的不确定性分析

在量子力学中，对于受简谐力作用的高斯波包，其位置和动量的不确定性有着独特的性质。通过一系列推导，我们可以得到位置和动量的不确定性随时间的变化关系。

1.1 不确定性乘积的推导

已知$\alpha^2 = \frac{m\omega}{\hbar}$，经过计算可得：
$\langle \hat{p}(t)^2 \rangle = \frac{\hbar^2}{4}[2\alpha^2]\cos^2\omega t + [\frac{1}{2\alpha^2}]m^2\omega^2\sin^2\omega t = \frac{\hbar^2\alpha^2}{2}$

对于$\langle \hat{x}(t)^2 \rangle$，有：
$\langle \hat{x}(t)^2 \rangle = \langle \hat{x}(0)^2 \rangle\cos^2\omega t + \frac{\langle \hat{p}(0)^2 \rangle}{m^2\omega^2}\sin^2\omega t - \langle \hat{x}(0) \rangle^2\cos^2\omega t$
$= [\langle \hat{x}(0)^2 \rangle - \langle \hat{x}(0) \rangle^2]\cos^2\omega t + [\frac{\hbar^2\alpha^2}{2}]\frac{1}{\hbar^2\alpha^4}\sin^2\omega t$
$= \langle \hat{x}(0)^2 \ran