9、一维时变状态：量子力学的深入探索

一维时变状态：量子力学的深入探索

1. 引言

在量子力学的研究中，此前我们主要关注的是定态系统。然而，一般情况下，量子系统处于态的叠加之中，这种状态下概率密度必然是随时间变化的，这类状态通常被称为“波包”。波包是由不同德布罗意波长的波叠加而成的波函数，它为量子粒子的“运动”提供了机制，也建立了量子粒子与经典粒子之间的联系。接下来，我们将先探讨位置和动量的期望值与这些物理量的经典概念之间的联系，然后详细研究一些特定的波包。

2. 埃伦费斯特定方程

2.1 第一个埃伦费斯特定方程

1927 年，P. 埃伦费斯特证明了波包的运动与经典粒子的运动之间的关系，这是对应原理的又一体现。首先，我们来看位置的期望值：
[
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^ (x, t) x \psi(x, t) dx
]
这里假设波函数是归一化的，即在 (x = \pm\infty) 处波函数为零。对 (\langle x\rangle) 关于时间求导，并代入含时薛定谔方程（TDSE），经过一系列推导（具体过程如下）：
1. 对 (\langle x\rangle) 求导：
[
\frac{d}{dt} \langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial \psi^ (x, t)}{\partial t} x \psi(x, t) dx + \int_{-\infty}^{\infty} \psi^ (x, t) \frac{\partial \psi(x,