SGU 475 状压 DP

最新推荐文章于 2025-05-18 19:14:41 发布

SHOHOKUKU

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分类专栏： DP 文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/neweryyy/article/details/123961668

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动态规划二进制压缩状态转移最短路径优化算法

关键词由优快云通过智能技术生成

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该博客探讨了一种优化算法，用于解决在有限时间内使用船只运送人员的问题。通过枚举人员组合并利用二进制压缩和动态规划，将时间复杂度降低到O(mn2^n)，从而提高了效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

传送门 SGU 475 Be a Smart Raftsman

题解

容易想到枚举每一条路上使用船的人员集合，时间复杂度 $O(2^{2n}m)$ 。考虑如何优化状态转移的过程。对于任一个状态，其转移都可以通过改变每一个人的位置得到，对应于二进制压缩的状态即每一位的异或。那么可以将已改变位置状态的人数作为 DP 的阶段（类似于 Floyd 求最短路的想法）， $O(2^nn)$ 完成状态转移。

总时间复杂度 $O(mn2^n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 11, MAXM = 1E3 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int N, M;
int W[MAXN], T[MAXN], S[MAXN];
int C[MAXM], D[MAXM], D2[MAXM];
int sw[1 << MAXN], mx[1 << MAXN];
int dp[1 << MAXN];

void _min(int &x, int y) { x = min(x, y); }

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> N >> M;
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> W[i] >> T[i] >> S[i];
    for (int i = 0; i < M; ++i)
        cin >> C[i] >> D[i] >> D2[i];
    for (int i = 0; i < 1 << N; ++i)
        for (int j = 0; j < N; ++j)
            if (i >> j & 1)
                sw[i] += W[j], mx[i] = max(mx[i], T[j]);
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[0] = 0;
    int mask = (1 << N) - 1;
    for (int i = 0; i <= M; ++i)
    {
        if (i > 0)
            dp[0] = INF;
        for (int k = 0; k < N; ++k)
            for (int j = 0; j < 1 << N; ++j)
                _min(dp[j ^ 1 << k], dp[j] + S[k]);
        if (i == M)
            break;
        for (int j = 1; j < 1 << N; ++j)
            dp[j] += max((sw[j] > C[i] ? D[i] : D2[i]), mx[~j & mask]);
    }
    cout << dp[0] << '\n';
    return 0;
}