Wu is so Water

重点结论：对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示位异或(xor)运算。 Nim游戏是博弈论中最经典的模型（之一？），它又有着十分简单的规则和无比优美的结论，由这个游戏开始了解博弈论恐怕是最合适不过了。 Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impart

【题目大意】：给出一幅有向图，然后告诉你上面有m个棋子，游戏者轮流操作，走到不能走的人输。 【解题思路】：sg函数...棋子的每一次移动都是它的后继状态也就是 sg(x)=mex(SG[et[i].v])et[i].v为邻接表表示与其相连的点。          每个棋子的移动视为一个子问题，将所有子问题^之后就是答案。 【代码】： #include #include

【题目大意】：给出n个硬币，每次可以取走k的幂，问先手取多少个可以确保获胜，不能则输出0 【解题思路】：Nim博弈，sg函数变形，不过太大， sg函数做不了....推小数据，找规律。 【代码】： #include #include #include #include #include #include #include #include #include

【题目大意】：有N堆石头,每堆石头数目在1到100之间,最多有10堆.两人分别取走石头.取石头的规则是:每次只能从1堆中取,每次取走至少1个.取过后还可以把这堆的石头任意分配到其它堆上，当然也可以不分配。问给定这些石头堆的情况,两人轮流取,谁先取完谁胜利,求谁胜利1为先取，0为后取。 【解题思路】：  1）只有一堆时 先手必胜 。                 2）有两堆时 若两堆相等

【题目大意】：给出一个n*m的矩阵，两个人轮流切割...直到一方不能切割为止，问先手的胜负情况 【解题思路】：原本看完题目觉得很简单，直接裸敲了个dfs~~结果无情的TLE...然后想想看看sg函数，然后发现貌似自己有点明白了。                             这道题的关键在于把问题转化为nim博弈...换句话话说一切博弈皆nim...

【题目大意】：给出一个集合S，然后给出n堆石子。每次可以从石子里取走S集合里面的数。问先手的胜负关系。 【解题思路】：Nim博弈的变形。加上了限制，跟距sg函数，我们可以知道。ans=sg(a)^sg(b)^sg(c)...（a,b,c为子问题，即每堆石子）。另外...sg(a)=mex(SG[a-s[i]])(0 【代码】： #include #include #i

【题目大意】：一个1*M的棋盘上有N个棋子，初始位置一定，两人轮流操作，每次移动一枚棋子，要求只能向左移且至少移动一格， 而且不能到达或经过以前有棋子的格子，谁无法移动棋子就算输。 【解题思路】：1）按照位置进行排序，然后将每两个分成一组               2）接下来，分下面两种情况讨论：                      1、先手移动任意组中的左边的一个，那么对

【题目大意】：有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。（1胜，0负） 【解题思路】：威佐夫博弈（Wythoff Game）

博弈是信息学和数学试题中常会出现的一种类型，算法灵活多变是其最大特点，而其中有一类试题更是完全无法用常见的博弈树来进行解答。 寻找必败态即为针对此类试题给出一种解题思路。                    此类问题一般有如下特点：                    1、博弈模型为两人轮流决策的非合作博弈。即两人轮流进行决策，并且两人都使用最优策略来获取胜利。

上一期的文章里我们仔细研究了Nim游戏，并且了解了找出必胜策略的方法。但如果把Nim的规则略加改变，你还能很快找出必胜策略吗？比如说：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……这时看上去问题复杂了很多，但相信你如果掌握了本节的内容，类似的千变万化的问题都是不成问题的。 现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定

【题目大意】：给出一个数n...两个人轮流游戏，每次可以给p=1乘上2~9之间的任意一个数，问谁先达到n。 【解题思路】：如果n的范围在2~9之间...先手胜，10~18之间后手胜....19~162之间...是由后手必胜态(10~18)转移过来的必败态(因为在10~18的情况下，是我要赢，我势必拿最大)...163~324是由先手必胜态(19~162)转移过来的后手必胜态...以此类推