#gcd&lcm&欧拉函数——典的推柿子#

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已于 2022-11-15 15:27:33 修改

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分类专栏： YBTOJ 文章标签：概率论算法

于 2022-11-15 15:22:40 首次发布

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本文探讨了欧几里得算法在计算最大公约数（GCD）中的应用，并展示了四个关于GCD与最小公倍数（LCM）的等价性质。通过这些性质，我们可以深入了解整数的结构和它们之间的关系。

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                    一.
∑i=1n[gcd⁡(i,n)=k]=∑i=1n[gcd⁡(ik,nk)=1)]=φ(nk)\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=k] \\=\sum_{i=1}^{n}[\gcd(\frac{i}{k},\frac{n}{k} )=1)]\\=\varphi (\frac{n}{k})i=1∑n​[gcd(i,n)=k]=i=1∑n​[gcd(ki​,kn​)=1)]=φ(kn​)
二.
∑i=1ngcd⁡(i,n)=∑d∣nd∑i=1n[gcd⁡(i,n)=d]=∑d∣nd∑i=1n[gcd⁡(id,nd)=1]=∑d∣nd∑i=1⌊nd⌋[gcd⁡(i,nd)=1]=∑d∣ndφ(⌊nd⌋)\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\\=\sum_{d\mid n}d\sum_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=d]\\=\sum_{d\mid n}d\sum_{i=1}^{n}[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1]\\=\sum_{d\mid n}d\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor }[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\=\sum_{d\mid n}d\varphi (\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor )i=1∑n​gcd(i,n)=d∣n∑​di=1∑n​[gcd(i,n)=d]=d∣n∑​di=1∑n​[gcd(di​,dn​)=1]=d∣n∑​di=1∑⌊dn​⌋​[gcd(i,dn​)=1]=d∣n∑​dφ(⌊dn​⌋)
三.
∑i=1n∑j=1ngcd⁡(i,j)=∑i=1n∑j=1n∑d∣gcd⁡(i,j)φ(d)=∑i=1n∑j=1n∑d=1nφ(d)[d∣i][d∣j]=∑d=1nφ(d)∑i=1n∑j=1n[d∣i][d∣j]=∑d=1nφ(d)⌊nd⌋2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\gcd(i,j)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d\mid \gcd(i,j)}\varphi (d)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)[d\mid i][d\mid j]\\=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[d\mid i][d\mid j]\\=\sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor ^2i=1∑n​j=1∑n​gcd(i,j)=i=1∑n​j=1∑n​d∣gcd(i,j)∑​φ(d)=i=1∑n​j=1∑n​d=1∑n​φ(d)[d∣i][d∣j]=d=1∑n​φ(d)i=1∑n​j=1∑n​[d∣i][d∣j]=d=1∑n​φ(d)⌊dn​⌋2
四.
∑i=1nlcm⁡(m,n)=∑i=1nnigcd⁡(n,i)=n∑i=1nigcd⁡(n,i)=n∑d∣n∑i=1nid[gcd⁡(i,n)=d]=n∑d∣n∑i=1nid[gcd⁡(id,nd)=1]=n∑d∣n∑i=1di[gcd⁡(i,d)=1]=n∑d∣nφ(d)2d\sum_{i=1}^{n}\operatorname{lcm}(m, n) \\=\sum_{i=1}^{n}\frac{ni}{\gcd(n,i)}\\=n\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{\gcd(n,i)}\\=n\sum_{d\mid n }^{}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[\gcd(i,n)=d]\\=n\sum_{d\mid n }^{}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{d}[\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1]\\=n\sum_{d\mid n }^{}\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,d)=1]\\=n\sum_{d\mid n }\frac{\varphi(d)}{2}d i=1∑n​lcm(m,n)=i=1∑n​gcd(n,i)ni​=ni=1∑n​gcd(n,i)i​=nd∣n∑​i=1∑n​di​[gcd(i,n)=d]=nd∣n∑​i=1∑n​di​[gcd(di​,dn​)=1]=nd∣n∑​i=1∑d​i[gcd(i,d)=1]=nd∣n∑​2φ(d)​d