11、非线性稳定性分析与控制设计

非线性稳定性分析与控制设计

1. 引言

在动态系统的研究中，稳定性分析和控制设计是至关重要的环节。Lyapunov 方法作为一种强大的工具，在分析系统稳定性和设计控制器方面发挥着重要作用。接下来我们将详细探讨 Lyapunov 方法在不同类型系统中的应用。

2. 基于 Lyapunov 技术的控制器设计

• 基本原理
  对于形如 $\dot{x} = f(x) + g(x)u$ 的系统，我们可以选择一个 Lyapunov 函数候选 $L(x) > 0$，并沿系统轨迹求导：
  $\dot{L}(x) = \frac{\partial L}{\partial x} \dot{x} = \frac{\partial L}{\partial x} [f(x) + g(x)u]$。
  通常，我们可以通过适当选择 $u(t)$ 来确保 $\dot{L} \leq 0$，从而得到状态反馈形式的控制器，即 $u(t)$ 是状态 $x(t)$ 的函数。
• 不连续函数与控制器设计
  实际系统中常常包含不连续函数，如符号函数。对于标量 $x \in \mathbb{R}$，符号函数定义为：
  [
  \mathrm{sgn}(x) =
  \begin{cases}
  1, & x \geq 0 \
  -1, & x < 0
  \end{cases}
  ]
  对于向量 $x = [x_1, x_2, \cdots, x_n]^T \in \mathbb{R}^n$，符号函数