15、线性模型参数估计与风险分析

线性模型参数估计与风险分析

在实际的数据分析和建模中，我们常常会遇到各种线性模型，并且需要对模型中的参数进行估计。本文将围绕简单线性模型和多元线性回归模型展开，详细介绍参数的估计方法以及相关的风险评估。

简单线性模型

考虑 $p$ 个简单线性模型，其形式为：
[
\mathbf{y} {nj} = \theta_j \mathbf{1} {nj} + \beta_j \mathbf{x} {nj} + \boldsymbol{\varepsilon} {nj}, \quad j = 1, \ldots, p
]
其中，$\mathbf{y} {nj} = (y {j1}, \ldots, y_{jn_j})^T$，$\mathbf{1} {nj} = (1, \ldots, 1)^T$ 是一个 $n_j$ 维的全 1 向量，$\mathbf{x} {nj} = (x_{j1}, \ldots, x_{jn_j})^T$，$\boldsymbol{\varepsilon} {nj} = (\varepsilon {j1}, \ldots, \varepsilon_{jn_j})^T$，其累积分布函数（c.d.f.）定义为：
[
F(\boldsymbol{\varepsilon} j) = \prod {i = 1}^{n_j} F_0(y_{ji} - \theta_j - \beta_j x_{ji})
]
以及
[
F(\boldsymbol{\varepsilon}