79、边界一致偏差约束：原理与算法解析

边界一致偏差约束：原理与算法解析

在变量分配的平衡问题中，偏差约束是一个重要的概念。它用于确保一组变量围绕给定均值保持平衡，在许多实际应用中都有广泛的用途。

1. 偏差约束简介

偏差约束（deviation）是为了平衡一组变量相对于给定均值而引入的。它可以保证一组变量的分配围绕给定均值进行平衡。具体定义如下：
给定 $n$ 个有限域变量 $X = (X_1, X_2, …, X_n)$，一个整数值 $s$ 和一个有限域变量 $\Delta$，$deviation(X, s, \Delta)$ 成立当且仅当：
$\sum_{i=1}^{n} X_i = s$ 且 $\Delta \geq \sum_{i=1}^{n} |n \cdot X_i - s|$

这意味着偏差约束实际上是两个约束的结合：一个是强制变量之和等于 $s$ 的求和约束，另一个是强制 $n \cdot X_i$ 到总和 $s$ 的绝对偏差之和小于或等于 $\Delta$ 的偏差约束。从另一个角度看，变量 $X_i$ 的均值（或平均值）必须等于 $s/n$，并且到这个均值的偏差之和必须小于 $\Delta/n$。

偏差约束在实际应用中有很多场景，例如：
- 在急诊室医生排班中公平分配夜班和周末班。
- 在调度问题中平衡任务的延迟。
- 平衡软全局约束之间的违规情况。
- 在时间表问题中平衡不同时间段的工作量。
- 生成空间平衡的科学实验。

对于偏差约束，可以设想两种传播器：
1. 根据 $X$ 中变量的域和值 $s$ 增加 $\Delta_{min}$。
2. 根据值 $\Delta_{m