14、时间序列分析与滤波技术详解

时间序列分析与滤波技术详解

1. 时间序列未来预测

在时间序列分析中，我们可以将时间序列 $d$ 的当前值近似表示为其过去值的线性函数，即：
$d_i = p_2d_{i - 1} + p_3d_{i - 2} + p_4d_{i - 3} + \cdots + p_Md_{i - M - 1}$
这里的 $p$ 是系数。若知道这些系数，就能利用过去值 $d_{i - 1}, d_{i - 2}, d_{i - 3}, \cdots$ 来预测当前值 $d_i$。该方程实际上是卷积方程：
$p_1d_i + p_2d_{i - 1} + p_3d_{i - 2} + p_4d_{i - 3} + \cdots = 0$
其中 $p_1 = -1$，所以可写成 $p * d = 0$。这里的预测误差滤波器 $p$ 是未知的。此卷积方程与之前遇到的热生成方程 $g * h = u$ 形式相同，可使用广义最小二乘法求解。先验信息 $p_1 = -1$ 被认为是非常确定的，其方差远小于 $p * d = 0$。

在大多数实际情况中，可预测的未来主要是近期过去的函数。因此，预测误差滤波器较短，可使用 MatLab 的标准矩阵代数来计算 $p$（双共轭梯度法也是不错的选择）。

以 Neuse 河水位图为例，使用两种方法计算预测误差滤波器，得到了相同的结果。选择 $M = 100$ 作为 $p$ 的长度，滤波器的高幅值主要集中在前 3 到 4 天，这表明较短的滤波器可能也能产生类似的预测效果。42 天处的小特征很令人惊讶，它表明当前值与一个多月前的时间存在一定依赖关系，但在明确其意义之前，需要研究该特征对预测的实际改善程度。

预测误差