12、环境数据分析中的傅里叶变换：从理论到实践

环境数据分析中的傅里叶变换：从理论到实践

1. 引入复数简化公式

在信号处理和数据分析中，我们常常会用到傅里叶级数。以往使用正弦和余弦函数来表示傅里叶级数，公式相对复杂。不过，利用欧拉公式，将正弦和余弦函数转换为复指数形式，可以大大简化许多公式。

欧拉公式如下：
[
\begin{align }
\exp(i\omega t) &= \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)\
\exp(-i\omega t) &= \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)
\end{align }
]
由此可以推导出：
[
\begin{align }
\cos(\omega t) &= \frac{\exp(i\omega t) + \exp(-i\omega t)}{2}\
\sin(\omega t) &= \frac{\exp(i\omega t) - \exp(-i\omega t)}{2i}
\end{align }
]

在傅里叶级数中使用复指数形式时，除了需要处理复数外，还需要同时考虑正频率和负频率。以前我们是将正弦和余弦函数配对，现在则是将正频率和负频率的复指数函数配对：
[
d(t) = \cdots + A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \cdots = \cdots + C_{-}\exp(-i\omega t) + C_{+}\exp(i\omega t) + \c