15、并行算法：部分并行与同步算法解析

并行算法：部分并行与同步算法解析

1. 部分并行算法：Swendson - Wang 算法

1.1 算法背景与模型

除了通用算法外，还有针对特殊问题类定制的技术，Swendson - Wang 算法（1987 年提出）就是其中之一。该算法主要用于 Ising 模型，更广泛地用于 Potts 模型，它采用渗流理论的思想来提高收敛速度。

考虑一个广义 Potts 模型，设 $S$ 是一个有限的位点集合，$G$ 是一个有限的颜色集合。每个 $s \in X = G^S$ 具有能量：
[H(x) = \sum_{(s,t)} c_{st} (1_{ {x_s = x_t}} - 1)]
其中，个体耦合常数 $c_{st} = c_{ts} > 0$（插入“ - 1”仅为方便）。这个模型源于物理学，但在纹理合成中也很有意义，并且允许“长程”相互作用。

1.2 算法准备与步骤

为了描述从 SWENDSON 和 WANG 提出的 Potts 场 $\Pi$ 中采样的算法，需要做一些准备。
- 邻域系统与图结构 ：定义邻域系统，当且仅当 $c_{st} > 0$ 时，$s \in \delta(t)$，这会诱导出一个图结构，其中键 $(s, t)$ 满足 $c_{st} > 0$，设 $S_a$ 表示键的集合。
- 键变量 ：引入键变量 $b_{st} = b(s,t)$，取值为 0 或 1。如果 $b_{st} = 1$，则称该键是活跃的，否则是不活跃的。活跃键的集合在 $S$ 上定义了一个新的、