5、吉布斯场与势：随机领域的深入探索

吉布斯场与势：随机领域的深入探索

1. 吉布斯场的基本概念

吉布斯场在随机领域的研究中具有重要地位，其形式对于计算（条件）概率尤为有用。其概念和术语多借鉴自统计力学，在统计力学里，吉布斯场被用作大型物理系统平衡态的模型。

概率测度形式如下：
[
\Pi(x)=\frac{\exp(-H(x))}{\sum_{z\in X}\exp(-H(z))}
]
这种形式的概率测度始终严格为正，因此属于随机场。其中，(\Pi)被称为由能量函数(H)诱导的吉布斯场（或测度），分子部分则被称为配分函数。任何随机场(\Pi)都能写成这种形式。实际上，若令(H(x)=-\ln\Pi(x)-\ln Z)，则有(\exp(-H(x))=\Pi(x)Z)，且(Z)必然是(H)的配分函数。此外，(\Pi)的能量函数在加上一个常数的情况下是唯一的。若(H)和(H’)是(\Pi)的能量函数，那么对于任意(x\in X)，有(H(x)-H’(x)=\ln Z’ - \ln Z)。通常，为保证唯一性，会选择某个参考或“真空”配置(o\in X)，并要求(Z = \Pi(o)^{-1})，即(H(o)=0)。

2. 势的定义与性质

为便于研究，我们将能量分解为集合(S)子集上配置的贡献。这里用(\varnothing)表示空集。

2.1 势的定义

势是一族定义在(X)上的函数({U_A : A \subseteq S})，需满足以下条件：
- (U_{\varnothing}=0)；
- 若(x_A = y_A)，则(U_A(x)=U_A(y))。

势(U)的能量由下式给