14、神经网络的概率设计：理论与实践

神经网络的概率设计：理论与实践

1. 引言

在当今的信息处理系统中，人工神经网络发挥着至关重要的作用，广泛应用于模式识别、时间序列预测、机器人控制等领域。然而，工程师们在实际应用中常常面临一些困惑。例如，神经网络的输出究竟代表什么含义？它能否对未知输入做出响应？其答案的可靠性如何？以及它是否具备解释所学概念的能力？

早期，由于神经网络的非线性和复杂性，这些问题似乎难以找到答案，甚至有人认为神经网络的设计是一门艺术。但随着研究的深入，神经网络学习的统计结构逐渐明晰，使得我们能够对这些问题进行解答，并将神经网络的设计纳入工程范畴。

2. 神经网络的统一概率框架

2.1 定义

为了建立神经网络设计方法的理论基础，我们构建了一个统一的概率框架。假设输入空间为 $X$，输出空间为 $Y$，输入 - 输出对的真实概率密度函数为 $q(x, y)$，它代表了输入和输出之间的真实关系，但通常是复杂且未知的。

输入空间的概率密度为：
$\rho(x) = \int q(x, y)dy$

给定输入 $x$ 时，输出空间的概率密度为：
$\rho(y|x) = \frac{q(x, y)}{\rho(x)}$

为了估计 $q(x, y)$，我们采用参数化的概率密度函数 $p(x, y; w)$，其中 $w$ 是待优化的参数。以下是两个具体的例子：
- 函数逼近神经网络 ：当输入空间和输出空间的直积为 $R^M \times R^N$ 时，函数逼近神经网络定义为 $p(x, y; w, \sigma) = q(x)g_N(y; \