15、群的字问题特征化研究

群的字问题特征化研究

在数学领域，群的字问题是一个重要的研究方向。我们先来了解一些基础概念。

群与字问题的定义

群是一个集合 (G) 连同一个封闭的二元运算 (\ast)，该运算满足结合律，存在单位元 (1 = 1_G)，并且对于 (G) 中的每个元素 (g) 都有其逆元 (g^{-1})。通常我们会省略对运算 (\ast) 的提及，简单地称群为 (G)，并将 (g \ast h) 写作 (gh)。

如果 (G) 是一个群，(\Sigma) 是一个有限集，并且 (\phi : \Sigma^\ast \to G) 是一个满的幺半群同态，那么我们称 (\Sigma) 是 (G) 的（幺半群）生成集（通过 (\phi)）。对于每个 (a \in \Sigma)，设 (a) 是 (\Sigma^\ast) 中的一个元素，使得 (a\phi = (a\phi)^{-1})。在 (G) 中，(a_1a_2 \cdots a_n = b_1b_2 \cdots b_m)（其中 (a_i, b_j \in \Sigma)）当且仅当 (a_1a_2 \cdots a_nb_m b_{m - 1} \cdots b_1) 表示 (1_G)。因此，我们可以关注 (\Sigma^\ast) 中表示 (G) 的单位元的单词集合，我们将这个语言称为 (G) 相对于生成集 (\Sigma)（通过 (\phi)）的字问题 (W(G, \Sigma))。

字问题的性质

我们感兴趣的是确定哪些语言性质集合足以确保一个语言一定是群的字问题。以下是一些潜在的语言 (L) 在字母表 (\Sigma) 上的性质：
- 通用前缀性质 (UPP)