8、探寻Petri网中标记图的存在性：pbrp系统的奥秘

探寻Petri网中标记图的存在性：pbrp系统的奥秘

1. 基础概念

在Petri网的研究领域中，有几个基础概念是理解后续内容的关键。首先，重复 firing 得到的状态集合用 [M⟩ 表示。对于一个初始标记的网 Σ = (P, T, F, M0)，其可达性图 RG(Σ) 是一个带标记的转换系统，它包含顶点集 [M0⟩、初始状态 M0、标记集 T 以及边集 {(M, t, M ′) | M, M ′ ∈[M0⟩∧M[t⟩M ′}。当且仅当可达性图是有限的时候，网 Σ 是有界的。

一个初始标记的网具有一些重要性质，它总是完全可达的（由可达性图的定义决定），并且具有前向和后向确定性（因为如果 M[t⟩M ′，那么 M、t 和 M ′ 之间存在唯一的线性代数关系）。如果一个系统 Σ 是简单的、有界的、可逆的和持久的，那么它被称为 pbrp 系统。

2. 持久性与小循环

任何标记图系统 Σ = (P, T, F, M0) 都是持久的。这是因为对于不同的 a, b ∈T，不存在 a 和 b 的公共前置位置 p，即对于所有 p ∈P，要么 F(p, a) = 0，要么 F(p, b) = 0，或者两者都为 0。不过，反过来并不成立，例如图 2 中的 TS2 = RG(Σ2) 是持久的，但不是标记图。

持久性转换系统具有小循环的性质，下面是小循环的相关定义：
- 定义 1：不相交小循环性质 ：设 TS = (S, →, T, s0) 是一个转换系统。对于状态 s ∈[s0⟩，一个非平凡（即非空）的循环 s[σ⟩s 是小循环当且仅当不存在状态 s′ ∈[s0⟩ 使得 s′[σ′⟩s′ 且 Ψ(σ′) ≨Ψ