11、无流状态下的公平带宽分配：时间受限调度策略解析

无流状态下的公平带宽分配：时间受限调度策略解析

在网络带宽分配领域，如何实现公平且高效的带宽分配一直是研究的重点。本文将深入探讨时间受限调度问题，介绍相关概念、性质以及证明过程，旨在为读者提供对该领域的深入理解。

时间受限调度基础概念

我们关注的是在时间 $T$ 内的调度问题，其中 $B$ 和 $d$ 是固定参数，且假设 $B \geq 2d - 1$。定义 $T$ 步调度的得分是步骤 $T$ 之后的正超额流数量。为了描述调度，我们采用输出序列，即流被命中的顺序。

一个有趣的现象是，流越早被首次命中，它必须经历的总命中次数就越多。这使得我们猜想存在一种最优的 $T$ 步调度，其中只有当不存在具有正超额且需要至少再命中一次的流时，才启动新的流。然而，通过参数 $B = 9$，$d = 7$，$T = 11$ 的反例可以证明这个猜想是错误的。在这个反例中，按照猜想的策略输出序列为 $1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 7$，得分为 $7$；而输出序列 $1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 则能达到 $8$ 分。

接下来，我们定义一些关键函数：
- 设 $e(a, t)$ 为流 $a$ 在步骤 $t$ 之后的超额。
- 定义函数 $f(x, t) = \lceil (T - t + 1 - x) / d \rceil$。
- 定义 $hit(a, t)$ 为 $f(e(a, t), t)$，它表示在步骤 $t$ 之后，流 $a$ 的超额为 $e(a, t)$ 且步骤 $1$ 之后的超额为正的情况下，流 $a$ 在步骤 $t + 1, t + 2, \cdots, T$ 中必须被命中的次数。