数学基础II 线性基高斯消元中国剩余定理 BSGS

最新推荐文章于 2021-01-31 16:37:59 发布

myjs999

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分类专栏：数论

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本文介绍线性基的概念及其实现，包括插入、查询最大/最小异或和等功能，并探讨了矩阵操作如高斯消元及求逆的方法。此外，还详细解释了中国剩余定理的应用以及大步小步算法解决特定方程的技巧。

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线性基

线性基可以“存储”一个数的集合的所有子集的异或和。它支持查询最大/最小/第k小子集异或和或一个异或和是否存在。线性基可以插入，但不能删除。

long long a[55], s[55], top;

void insert(long long x) {
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if(x&(1ll<<i)) {
        if(!a[i]) {
            a[i] = x;
            return;
        }
        x ^= a[i];
    }
}

int exist(long long x) {
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if(x&(1ll<<i)) {
        x ^= a[i];
        if(!x) return 1;
    }
    return 0;
}

long long query_max() {
    long long ans = 0;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if((ans^a[i]) > ans) ans ^= a[i];
    return ans;
}

long long query_min() {
    for(int i = 0; i <= 62; i++) if(a[i]) return a[i];
    return -1;
}

long long kth(int k) {
    for(int i = 62; i >= 0; i--) for(int j = i-1; j >= 0; j--) if(a[i]&(1ll<<j)) a[i] ^= a[j];
    top = 0;
    for(int i = 0; i <= 62; i++) if(a[i]) s[top++] = a[i];
    long long ans = 0;
    for(int i = 62; i >= 0; i--) if(k&(1ll<<i)) ans ^= a[i];
    return ans;
}

矩阵

高斯消元

几乎就是手动消元的过程。

void gauss() {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int r = i;
        for(int j = i+1; j < n; j++) if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i])) r = j;
        for(int j = 0; j <= n; j++) swap(a[i][j], a[r][j]);
        for(int j = n; j >= i; j--) for(int k = i+1; k < n; k++) a[k][j] -= a[k][i]/a[i][i] * a[i][j]; // 提高精度
    }
    for(int i = n-1; i >= 0; i--) { // 回代
        for(int j = i+1; j < n; j++) a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
        a[i][n] /= a[i][i];
    }
}

矩阵的逆

用高斯消元。

中国剩余定理

中国剩余定理用于求解形如 $x\equiv b_i(\mod m_i)$ 的一组方程。
设有 $n$ 个方程，我们计算另外“特殊的” $n$ 个方程组的解。第 $p$ 个“特殊方程组”形如 $x\equiv b_p(\mod m_p)$ ； $x\equiv b_i(\mod m_i), i \neq p$ 。
可以轻易地用扩展欧几里得求出这些“特殊方程组”的解。
则原方程组的解，就等于每一组“特殊方程组”的解乘以其序号对应的系数的和，对 $∏_{i=1}^nm_i$ 取模。

int china() {
    int M = 1, ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) M *= m[i];
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int d, y;
        exgcd(m[i], M/m[i], d, d, y);
        ans = (ans + y*(M/m[i])*a[i]) % M;
    }
    return ans;
}

Upd on 2018.7.20:
设 $M=\prod_{i=1}^nm_i，M_i=\frac{M}{m_i}$
则 $x=\sum_{i=1}^na_iinv(M_i,m_i)Mi(\mod M)$

大步小步算法

大步小步算法用于解方程 $a^x\equiv b(\mod n)$ ，时间复杂度为 $O(\sqrt n)$ 。
根据欧拉定理，如果有解，则解一定在 $[0,n)$ 中。
BSGS的基本思想是先求出 $e_i=a^i\mod n(i<\sqrt n)$ ，全部存在哈希表中。对于之后的 $i$ ，只需检查是否有 $e_i=a^{-jm}b(0<j<\sqrt n)$ 即可。
这体现了一种分组的思想。

Miller-Rabin素数测试

Miller-Rabin算法是基于费马小定理的。
这个Miller_Rabin没有用二次探测定理，但不保证会出错。

int miller_rabin(int x) {
    if(x == 2) return 1;
    for(int i = 0; i < 10; i++) {
        int a = rand() % (x-2) + 2;
        if(qpow(a, x, x) != a) return 0;
    }
    return 1;
}