线代【矩阵的运算】--猴博士爱讲课

本文深入介绍了矩阵的加减运算、矩阵乘法及其应用,包括矩阵乘法的性质和矩阵的逆。通过实例解析了矩阵乘法的计算过程,并展示了如何利用矩阵的逆来解决线性方程组问题。此外,还讨论了矩阵的秩和矩阵可逆的条件,为理解和应用矩阵理论提供了基础。

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第三四课 矩阵的运算

1/3矩阵加减

已知A=[132456],B=[789101112],试求2A+3B 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12 \\ \end{matrix}\right] ,试求2A+3B 已知A=125346,B=791181012,试求2A+3B

2A=[1∗23∗22∗24∗25∗26∗2]=[26481012]3B=[7∗38∗39∗310∗311∗312∗3]=[212427303336]2A+3B=[2+216+244+278+3010+3312+36]=[233031384348] 2A= \left[\begin{matrix} 1*2 & 3*2\\ 2*2 & 4*2\\ 5*2 & 6*2 \\ \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2 & 6\\ 4 & 8\\ 10 & 12 \\ \end{matrix}\right]\\ 3B= \left[\begin{matrix} 7*3 & 8*3\\ 9*3 & 10*3\\ 11*3 & 12*3 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 21 & 24\\ 27 & 30\\ 33 & 36 \\ \end{matrix}\right]\\ 2A+3B= \left[\begin{matrix} 2+21 & 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33 & 12+36 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 23 & 30\\ 31 & 38\\ 43& 48\\ \end{matrix}\right] 2A=122252324262=241068123B=739311383103123=2127332430362A+3B=2+214+2710+336+248+3012+36=233143303848

2/3矩阵相乘

例一:
已知A=[132456],B=[789101112],试求A∗B 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 7 & 8& 9\\ 10&11 & 12 \\ \end{matrix}\right] ,试求A*B 已知A=125346,B=[710811912],试求AB

方法:前行乘后列

[前面的列数必须等于后面的行数,才可以相乘]

A∗B=[132456]∗[789101112] A*B= \left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 7 & 8& 9\\ 10&11 & 12 \\ \end{matrix}\right] AB=125346[710811912]

=[1×7+3×101×8+3×111×9+3×122×7+4×102×8+4×112×9+4×125×7+6×105×8+6×115×9+6×12]=[37414554606695106117] =\left[\begin{matrix} 1×7+3×10 & 1×8+3×11& 1×9+3×12\\ 2×7+4×10&2×8+4×11 & 2×9+4×12 \\ 5×7+6×10&5×8+6×11 & 5×9+6×12 \\ \end{matrix}\right]\\= \left[\begin{matrix} 37 & 41& 45\\ 54 & 60& 66\\ 95 & 106 & 117\\ \end{matrix}\right] =1×7+3×102×7+4×105×76×101×8+3×112×8+4×115×8+6×111×9+3×122×9+4×125×9+6×12=37549541601064566117

例二:
已知A=[101020101],B=[123456789],试求A2B−2AB 已知A= \left[\begin{matrix} 1 &0&1\\ 0 & 2 &0\\ 1 & 0 &1\\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right] ,试求A^2B-2AB 已知A=101020101,B=147258369,试求A2B2AB

这个时候还像例一那样去进行矩阵的乘法运算就显得十分繁琐,这个时候可以利用
A2B−2AB=(A2−2A)B=(A−2E)AB A^2B-2AB=(A^2-2A)B=(A-2E)AB A2B2AB=A22AB=(A2E)AB
【注意:一般情况下AB≠BA】

需要记住的六种情况

image-20221230190146839

3/3矩阵取绝对值

这里需要注意的是:这里提到的求矩阵的绝对值其实是**求矩阵对应的行列式**

image-20221230190717832

1/7涉及到转置的题目

image-20221230191254421

2/7 证明矩阵可逆

有可逆矩阵的条件

image-20221230191443231

例一:
已知A=[123045006],试判断A是否可逆 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2&3\\ 0 & 4 &5\\ 0 & 0 &6\\ \end{matrix}\right], 试判断A是否可逆 已知A=100240356,试判断A是否可逆

∣A∣=∣123045006∣=24≠0∴A可逆 |A|= \left|\begin{matrix} 1 & 2&3\\ 0 & 4 &5\\ 0 & 0 &6\\ \end{matrix}\right|=24≠0\\ ∴A可逆 A=100240356=24=0A可逆

例二:
设方阵A满足A2−A−2E=0,证明A可逆 设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明A可逆 设方阵A满足A2A2E=0,证明A可逆

A2−A−2E=0−−>A2−A=2E−−>A2−AE=2E−−>A(A−E)=2E−−>A[12(A−E)]=E令B=12(A−E)则A∗B=E∴A可逆 A^2-A-2E=0-->A^2-A=2E-->A^2-AE=2E\\ -->A(A-E)=2E-->A[\frac{1}{2}(A-E)]=E\\ 令B=\frac{1}{2}(A-E)\\ 则A*B=E ∴A可逆 A2A2E=0>A2A=2E>A2AE=2E>A(AE)=2E>A[21(AE)]=EB=21(AE)AB=EA可逆

3/7 求逆矩阵

已知A=[123456789],试求A−1 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right] ,试求A^{-1} 已知A=147258369,试求A1

求逆矩阵的过程

image-20221230192840943

【注意这里是左右两边的矩阵同步做行变换

image-20221230193109628

先从上往下做使得下对角线全部变为零,再从下往上做使得上对角线全部变为零,就能得到单位矩阵

4/7利用A·A−1=E或A−1·A=E计算

作用:为了在计算的过程中消除A

已知A=[123234457],B=[1221],C=[142536],求矩阵X使其满足AXB=C 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\\ \end{matrix}\right], C= \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right] ,求矩阵X使其满足 AXB=C 已知A=124235347,B=[1221],C=123456,求矩阵X使其满足AXB=C

因为矩阵的运算没有除法,所以我们就利用A·A−1=E或A−1*A=E计算

易知A可逆,则AXB=C可有A−1AXB=A−1CEXB=A−1CXB=A−1CXBB−1=A−1CB−1X=A−1CB−1X=[−1−11−25−22−31]∗[142536]∗[−132323−13]=[−2183−13−13−13] 易知A可逆,则 AXB=C可有\\A^{-1}AXB=A^{-1}C\\ EXB=A^{-1}C\\XB=A^{-1}C\\XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\\X=A^{-1}CB^{-1}\\ X= \left[\begin{matrix} -1 & -1 &1\\ -2 & 5 &-2\\ 2 & -3 &1\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -2& 1\\ \frac{8}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right] 易知A可逆,则AXB=C可有A1AXB=A1CEXB=A1CXB=A1CXBB1=A1CB1X=A1CB1X=122153121123456[31323231]=2383113131

5/7利用A·A*=|A|E或A*·A=|A|E计算

作用:为了在计算的过程中消除A*

已知A=[123234457],且A∗X=A−1+X,求矩阵X 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right] ,且A^*X=A^{-1}+X ,求矩阵X 已知A=124235347,AX=A1+X,求矩阵X

当题目中出现A*时,利用A·A*=|A|E或A*·A=|A|E将其变成A代入计算即可**【A*–>A】**

伴随矩阵A*:方阵的行列式的对应的代数余子式行列式的转置
A∗=∣A11A21A31A12A22A32A13A23A33∣ A^*= \left|\begin{matrix} A_{11} & A_{21} &A_{31}\\ A_{12}& A_{22} &A_{32}\\ A_{13} & A_{23} &A_{33}\\ \end{matrix}\right| A=A11A12A13A21A22A23A31A32A33

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6/7求矩阵的秩

对矩阵进行行变换,使下行左端的0比上行多,直到下面行全为0为止—>【把矩阵化为阶梯型

矩阵的秩等于==【矩阵的秩等于最简型矩阵的非零行(非零子式的最高阶数)】==

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7/7已知矩阵的秩,求矩阵里的未知数

已知B=[12342U68369P],且R(B)=1,求U,P的值 已知B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right] ,且R(B)=1 ,求U,P的值 已知B=1232U636948P,R(B)=1,U,P的值

B=[12342U68369P]−−>[12340U−400000P−12],且R(B)=1,则可知U−4=0,P−12=0,解得U=4,P=12 B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right]--> \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 0 & U-4 &0 &0\\ 0 & 0 &0 &P-12\\ \end{matrix}\right]\\ ,且R(B)=1 ,则可知U-4=0,P-12=0,解得U=4,P=12 B=1232U636948P>1002U4030040P12,R(B)=1,则可知U4=0P12=0,解得U=4,P=12

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