第三四课 矩阵的运算
1/3矩阵加减
已知A=[132456],B=[789101112],试求2A+3B 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 7 & 8\\ 9 & 10\\ 11 & 12 \\ \end{matrix}\right] ,试求2A+3B 已知A=125346,B=791181012,试求2A+3B
2A=[1∗23∗22∗24∗25∗26∗2]=[26481012]3B=[7∗38∗39∗310∗311∗312∗3]=[212427303336]2A+3B=[2+216+244+278+3010+3312+36]=[233031384348] 2A= \left[\begin{matrix} 1*2 & 3*2\\ 2*2 & 4*2\\ 5*2 & 6*2 \\ \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 2 & 6\\ 4 & 8\\ 10 & 12 \\ \end{matrix}\right]\\ 3B= \left[\begin{matrix} 7*3 & 8*3\\ 9*3 & 10*3\\ 11*3 & 12*3 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 21 & 24\\ 27 & 30\\ 33 & 36 \\ \end{matrix}\right]\\ 2A+3B= \left[\begin{matrix} 2+21 & 6+24\\ 4+27& 8+30\\ 10+33 & 12+36 \\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 23 & 30\\ 31 & 38\\ 43& 48\\ \end{matrix}\right] 2A=1∗22∗25∗23∗24∗26∗2=241068123B=7∗39∗311∗38∗310∗312∗3=2127332430362A+3B=2+214+2710+336+248+3012+36=233143303848
2/3矩阵相乘
例一:
已知A=[132456],B=[789101112],试求A∗B
已知A=
\left[\begin{matrix}
1 & 3\\
2 & 4\\
5 & 6 \\
\end{matrix}\right],
B=
\left[\begin{matrix}
7 & 8& 9\\
10&11 & 12 \\
\end{matrix}\right]
,试求A*B
已知A=125346,B=[710811912],试求A∗B
方法:前行乘后列
[前面的列数必须等于后面的行数,才可以相乘]
A∗B=[132456]∗[789101112] A*B= \left[\begin{matrix} 1 & 3\\ 2 & 4\\ 5 & 6 \\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 7 & 8& 9\\ 10&11 & 12 \\ \end{matrix}\right] A∗B=125346∗[710811912]
=[1×7+3×101×8+3×111×9+3×122×7+4×102×8+4×112×9+4×125×7+6×105×8+6×115×9+6×12]=[37414554606695106117] =\left[\begin{matrix} 1×7+3×10 & 1×8+3×11& 1×9+3×12\\ 2×7+4×10&2×8+4×11 & 2×9+4×12 \\ 5×7+6×10&5×8+6×11 & 5×9+6×12 \\ \end{matrix}\right]\\= \left[\begin{matrix} 37 & 41& 45\\ 54 & 60& 66\\ 95 & 106 & 117\\ \end{matrix}\right] =1×7+3×102×7+4×105×7+6×101×8+3×112×8+4×115×8+6×111×9+3×122×9+4×125×9+6×12=37549541601064566117
例二:
已知A=[101020101],B=[123456789],试求A2B−2AB
已知A=
\left[\begin{matrix}
1 &0&1\\
0 & 2 &0\\
1 & 0 &1\\
\end{matrix}\right],
B=
\left[\begin{matrix}
1 & 2 &3\\
4 & 5 &6\\
7 & 8 &9\\
\end{matrix}\right]
,试求A^2B-2AB
已知A=101020101,B=147258369,试求A2B−2AB
这个时候还像例一那样去进行矩阵的乘法运算就显得十分繁琐,这个时候可以利用
A2B−2AB=(A2−2A)B=(A−2E)AB A^2B-2AB=(A^2-2A)B=(A-2E)AB A2B−2AB=(A2−2A)B=(A−2E)AB
【注意:一般情况下AB≠BA】
需要记住的六种情况
3/3矩阵取绝对值
这里需要注意的是:这里提到的求矩阵的绝对值其实是**求矩阵对应的行列式**
1/7涉及到转置的题目
2/7 证明矩阵可逆
有可逆矩阵的条件:
例一:
已知A=[123045006],试判断A是否可逆
已知A=
\left[\begin{matrix}
1 & 2&3\\
0 & 4 &5\\
0 & 0 &6\\
\end{matrix}\right],
试判断A是否可逆
已知A=100240356,试判断A是否可逆
∣A∣=∣123045006∣=24≠0∴A可逆 |A|= \left|\begin{matrix} 1 & 2&3\\ 0 & 4 &5\\ 0 & 0 &6\\ \end{matrix}\right|=24≠0\\ ∴A可逆 ∣A∣=100240356=24=0∴A可逆
例二:
设方阵A满足A2−A−2E=0,证明A可逆
设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明A可逆
设方阵A满足A2−A−2E=0,证明A可逆
A2−A−2E=0−−>A2−A=2E−−>A2−AE=2E−−>A(A−E)=2E−−>A[12(A−E)]=E令B=12(A−E)则A∗B=E∴A可逆 A^2-A-2E=0-->A^2-A=2E-->A^2-AE=2E\\ -->A(A-E)=2E-->A[\frac{1}{2}(A-E)]=E\\ 令B=\frac{1}{2}(A-E)\\ 则A*B=E ∴A可逆 A2−A−2E=0−−>A2−A=2E−−>A2−AE=2E−−>A(A−E)=2E−−>A[21(A−E)]=E令B=21(A−E)则A∗B=E∴A可逆
3/7 求逆矩阵
已知A=[123456789],试求A−1 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 &9\\ \end{matrix}\right] ,试求A^{-1} 已知A=147258369,试求A−1
求逆矩阵的过程:
【注意这里是左右两边的矩阵同步做行变换】
先从上往下做使得下对角线全部变为零,再从下往上做使得上对角线全部变为零,就能得到单位矩阵
4/7利用A·A−1=E或A−1·A=E计算
作用:为了在计算的过程中消除A
已知A=[123234457],B=[1221],C=[142536],求矩阵X使其满足AXB=C 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right], B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\\ \end{matrix}\right], C= \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right] ,求矩阵X使其满足 AXB=C 已知A=124235347,B=[1221],C=123456,求矩阵X使其满足AXB=C
因为矩阵的运算没有除法,所以我们就利用A·A−1=E或A−1*A=E计算
易知A可逆,则AXB=C可有A−1AXB=A−1CEXB=A−1CXB=A−1CXBB−1=A−1CB−1X=A−1CB−1X=[−1−11−25−22−31]∗[142536]∗[−132323−13]=[−2183−13−13−13] 易知A可逆,则 AXB=C可有\\A^{-1}AXB=A^{-1}C\\ EXB=A^{-1}C\\XB=A^{-1}C\\XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\\X=A^{-1}CB^{-1}\\ X= \left[\begin{matrix} -1 & -1 &1\\ -2 & 5 &-2\\ 2 & -3 &1\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\\ \end{matrix}\right]* \left[\begin{matrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -2& 1\\ \frac{8}{3} & -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \end{matrix}\right] 易知A可逆,则AXB=C可有A−1AXB=A−1CEXB=A−1CXB=A−1CXBB−1=A−1CB−1X=A−1CB−1X=−1−22−15−31−21∗123456∗[−313232−31]=−238−311−31−31
5/7利用A·A*=|A|E或A*·A=|A|E计算
作用:为了在计算的过程中消除A*
已知A=[123234457],且A∗X=A−1+X,求矩阵X 已知A= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3\\ 2 & 3 &4\\ 4 & 5 &7\\ \end{matrix}\right] ,且A^*X=A^{-1}+X ,求矩阵X 已知A=124235347,且A∗X=A−1+X,求矩阵X
当题目中出现A*时,利用A·A*=|A|E或A*·A=|A|E将其变成A代入计算即可**【A*–>A】**
伴随矩阵A*:方阵的行列式的对应的代数余子式行列式的转置
A∗=∣A11A21A31A12A22A32A13A23A33∣ A^*= \left|\begin{matrix} A_{11} & A_{21} &A_{31}\\ A_{12}& A_{22} &A_{32}\\ A_{13} & A_{23} &A_{33}\\ \end{matrix}\right| A∗=A11A12A13A21A22A23A31A32A33
6/7求矩阵的秩
对矩阵进行行变换,使下行左端的0比上行多,直到下面行全为0为止—>【把矩阵化为阶梯型】
矩阵的秩等于==【矩阵的秩等于最简型矩阵的非零行(非零子式的最高阶数)】==
7/7已知矩阵的秩,求矩阵里的未知数
已知B=[12342U68369P],且R(B)=1,求U,P的值 已知B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right] ,且R(B)=1 ,求U,P的值 已知B=1232U636948P,且R(B)=1,求U,P的值
B=[12342U68369P]−−>[12340U−400000P−12],且R(B)=1,则可知U−4=0,P−12=0,解得U=4,P=12 B= \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 2 & U &6 &8\\ 3 & 6 &9 &P\\ \end{matrix}\right]--> \left[\begin{matrix} 1 & 2 &3 & 4\\ 0 & U-4 &0 &0\\ 0 & 0 &0 &P-12\\ \end{matrix}\right]\\ ,且R(B)=1 ,则可知U-4=0,P-12=0,解得U=4,P=12 B=1232U636948P−−>1002U−4030040P−12,且R(B)=1,则可知U−4=0,P−12=0,解得U=4,P=12