Python 机器学习求解 PDE 学习项目——PINN 求解一维 Poisson 方程

本文使用 TensorFlow 1.15 环境搭建深度神经网络（PINN）求解一维 Poisson 方程:

$$\begin{array}{rlr}-\Delta u& =f& \text{in }\Omega ,\\ u& =0& \text{on }\Gamma :=\partial \Omega .\end{array}$$
其中 $\Omega =[X_a,X_b]$ 是一段区间，一维情况 $\Delta u=u_{xx}$.

完整代码及其注释如下：

import tensorflow as tf
#print(tf.__version__)
import numpy as np  
import math
# def is_log2_close_to_int(n, eps=1e-9):  
#     log_n = math.log2(n)  
#     return math.isclose(math.fmod(log_n, 1), 0, abs_tol=eps)  
  


# 定义Exact类，用于计算精确解  
class Exact:  
    def __init__(self, xa, xb):  
        # 初始化类，接受两个参数xa和xb，代表区间的两个端点  
        self.xa = xa  # 区间左端点  
        self.xb = xb  # 区间右端点  
  
    def u_exact(self, X):  
        # 计算并返回精确解u(X)  
        # 这里使用正弦函数作为精确解，其频率与区间长度(xb-xa)有关  
        u = np.sin(2*np.pi*X / (self.xb - self.xa))  
        return u  
  
  
# 定义Dataset类，用于生成数据  
class Dataset:  
    def __init__(self, x_range, N_res, N_b, xa, xb):  
        # 初始化类，接受多个参数  
        self.x_range = x_range  # 区间范围，例如[0, 1]  
        self.N_res = N_res      # 内部节点数，用于构建内部网格  
        self.N_b = N_b          # 边界条件点数（通常这里N_b为2，因为有两个边界）  
        self.xa = xa            # 区间左端点  
        self.xb = xb            # 区间右端点  
  
    def bc(self, X_b):  
        # 计算并返回边界条件上的精确解  
        # 创建一个Exact对象，用于计算精确解  
        U_bc = Exact(self.xa, self.xb)  
        u_bc = U_bc.u_exact(X_b)  # 计算边界条件X_b上的精确解  
        return u_bc  
  
    def build_data(self):  
        # 构建并返回数据集，包括内部网格点、边界网格点和区间端点  
        x0 = self.x_range[0]  # 区间左端点  
        x1 = self.x_range[1]  # 区间右端点  
  
        # 区间端点（最小值和最大值）  
        Xmin = np.array