8、矩形坐标系中的平面弹性力学研究

矩形坐标系中的平面弹性力学研究

在弹性力学领域，平面弹性问题的研究至关重要。本文将详细探讨平面弹性力学在矩形坐标系中的哈密顿系统，从基本方程入手，逐步深入到哈密顿系统的构建、变量分离以及特征问题的求解。

1. 平面弹性力学的基本方程

在工程实践中，许多问题可以通过平面弹性模型来简化和处理，通常分为平面应力和平面应变问题。

1.1 平面应力问题

研究对象为厚度恒定的薄板，在某一坐标方向（如 y 轴）的尺寸远小于其他两个坐标方向。假设体力和侧面力平行于板平面且沿厚度均匀分布，几何约束也不随厚度变化。在这种情况下，板内应力有 $\sigma_y = \tau_{xy} = \tau_{yz} = 0$，其他应力分量 $\sigma_x$、$\sigma_z$ 和 $\tau_{xz}$ 仅是 x、z 的函数。应力 - 应变关系简化为：
- $\varepsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu\sigma_z]$
- $\varepsilon_z = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu\sigma_x]$
- $\gamma_{xz} = \frac{2(1 + \nu)}{E} \tau_{xz}$

位移 w、u 同样仅是 x、z 的函数，其与应变的关系为：
- $\varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z}$
- $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$
- $\gamma_{xz} = \frac{\partial u}{\p