本文详细介绍了自动驾驶中的Frenet坐标与Cartesian坐标之间的转换，包括直角坐标到自然坐标的转换公式，涉及向量形式和三角函数形式的计算方法，以及Frenet坐标到直角坐标的转换。内容涵盖了速度、曲率、加速度等关键参数的计算，是理解自动驾驶路径规划的重要概念。
本文根据B站up：忠厚老实的老王 的视频《自动驾驶决策规划算法第一章第三节(上) 直角坐标与自然坐标转换》整理，连接：https://www.bilibili.com/video/BV1tQ4y1r7fh?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click
Planning-Frenet坐标和Cartesian坐标转换上
Planning-Frenet坐标和Cartesian坐标转换中
2.4 F r e n e t Frenet Frenet坐标系转换到 C a r t e s i a n Cartesian Cartesian坐标系
已知 r r ⃗ , v r ⃗ , κ r , s , s ˙ , s ¨ , l , l ′ , l ′ ′ \vec{r_r}, \vec{v_r}, \kappa_r,s, \dot{s}, \ddot{s}, l, l^{\prime}, l^{\prime \prime} rr,vr,κr,s,s˙,s¨,l,l′,l′′。
2.4.1 计算 ( x h , y h ) (x_h, y_h) (xh,yh)
{ x h = x r − l s i n ( θ r ) y h = y r + l c o s ( θ r ) (2-25) \begin{cases} x_h = x_r - lsin(\theta_r) \\ y_h = y_r + lcos(\theta_r) \end{cases} \tag{2-25} { xh=xr−lsin(θr)yh=yr+lcos(θr)(2-25)
2.4.2 计算 θ h \theta_h θh
由公式 ( 2 − 14 ) (2-14) (2−14)得：
θ h = a r c t a n ( l ′ 1 − κ r l ) + θ r (2-26) \theta_h = arctan(\frac{l^{\prime}}{1-\kappa_r l}) + \theta_r \tag{2-26} θh=arctan(1−κrll′)+θr(2-26)
2.4.3 计算 ∣ v h ∣ |v_h| ∣vh∣
由 ( 2 − 11 ) (2-11) (2−11)得
∣ v h ⃗ ∣ c o s ( θ h − θ r ) = s r ˙ ( 1 − κ r l ) (2-27) |\vec{v_h}| cos(\theta_h - \theta_r) = \dot{s_r} (1-\kappa_r l) \tag{2-27} ∣vh∣cos(θh−θr)=sr˙(1−κrl)(2-27)
由 ( 2 − 11 ) , ( 2 − 14 ) (2-11),(2-14) (2−11),(2−14)等号两边同时相乘得
s r ˙ l ′ = ∣ v h ⃗ ∣ s i n ( θ h − θ r ) (2-28) \dot{s_r} l^{\prime} = |\vec{v_h}| sin(\theta_h - \theta_r) \tag{2-28} sr˙l′=∣vh∣sin(θh−θr)(2-28)
所以
( ∣ v h ⃗ ∣ ) 2 ( c o s 2 ( θ h − θ r ) + s i n 2 ( θ h − θ r ) ) = ( s r ˙ ( 1 − κ r l ) ) 2 + ( s r ˙ l ′ ) 2 (2-29) (|\vec{v_h}|)^2 (cos^2(\theta_h - \theta_r) + sin^2(\theta_h - \theta_r)) = (\dot{s_r} (1-\kappa_r l))^2 + (\dot{s_r} l^{\prime})^2 \tag{2-29} (∣vh∣)2(cos2(θh−θr)+sin2(θh−θr))=(sr˙(1−κrl))2+(sr˙l′)2(2-29)
∣ v h ⃗ ∣ = ( s r ˙ ( 1 − κ r l ) ) 2 + ( s r ˙ l ′ ) 2 (2-30) |\vec{v_h}|= \sqrt{(\dot{s_r} (1-\kappa_r l))^2 + (\dot{s_r} l^{\prime})^2} \tag{2-30} ∣vh∣=(sr˙(1−
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