【BZOJ1076】【SCOI2008】奖励关（期望+状压dp）

最新推荐文章于 2020-03-15 13:19:10 发布

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本文探讨了一个关于游戏奖励关卡的问题，玩家需在有限次数内选择吃或不吃宝物以最大化平均得分。通过使用动态规划的方法，文章提供了一种有效的解决方案来计算最优策略下的期望得分。

Description

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，
每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（
这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。获取第i种宝物将得到Pi
分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过
一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可
以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。假设你
采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

　　第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随
后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

　　输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2

1 0

2 0

Sample Output

1.500000

HINT

1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

题解：
也是一道好题。
总的来说，这道题不难。用二进制表示选到/没选到这个物品。
对于一个物品来说，如果它的前导物品完全被选了，它就可以转移到。
枚举状态转移就好了。dp用期望公式记下期望即可。
代码如下：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
#define ll long long
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
int m,n,v[20],bin[20],x,d[20];
double dp[105][1<<16];
int main()
{
    for(int i=1;i<=16;i++) bin[i]=(1<<(i-1));
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&v[i],&x);
        while(x)
        {
            d[i]+=bin[x];
            scanf("%d",&x);
        }
    }
    for(int i=m;i;i--)
    for(int j=0;j<bin[n+1];j++)
    {
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            if((j&d[k])==d[k]) dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|bin[k]]+v[k]);
            else dp[i][j]+=dp[i+1][j];
        }
        dp[i][j]/=n;
    }
    printf("%.6lf\n",dp[1][0]);
    return 0;
}